常见的滤波算法及其在单片机中的应用介绍（三）

01

低通滤波

原理

低通滤波（Low Pass Filter）用于从一个信号中去除高于某个频率的成分。它的基本原理是，信号中高于某个频率的成分在信号传输或接收过程中会发生衰减，而低于该频率的成分则不受影响。因此，通过将信号通过一个低通滤波器，可以去除高频噪声，保留信号中的低频成分。

低通滤波器可以采用不同的设计方法，包括基于时域、频域、以及模拟电路等不同的技术。其中，最常见的是基于时域的差分方程实现的数字滤波器，通常可以分为FIR滤波器和IIR滤波器两种。

FIR滤波器（Finite Impulse Response Filter）是一种基于差分方程的数字滤波器，其特点是在时域上具有有限冲激响应。FIR滤波器的实现较为简单，可以通过离散时间的加法和乘法运算实现，具有线性相位和稳定的特点。由于FIR滤波器的阶数与其响应的精度有直接关系，因此，设计高阶FIR滤波器会面临计算量和存储空间的限制。

IIR滤波器（Infinite Impulse Response Filter）是另一种基于差分方程的数字滤波器，其特点是在时域上具有无限冲激响应。IIR滤波器相较于FIR滤波器具有更高的阶数和更好的频率选择性能，但其存在非线性相位和稳定性的问题。由于IIR滤波器的差分方程中包含反馈回路，因此对于不当的参数设置或实现，可能会导致滤波器不稳定或发生振荡。

低通滤波器在信号处理领域中应用广泛，例如音频处理、图像处理、通信系统中的调制解调和解扰等等。它可以通过选择不同的滤波器类型、滤波器参数和滤波器级数等方式来达到不同的滤波效果和性能。

智能车竞赛中的低通滤波常指加权递推平均滤波。

代码

C++
#define ALPHA 0.2

double lowPassFilter(double currentVal, double prevFilteredVal)
{
double filteredVal;
filteredVal = ALPHA * currentVal + (1 - ALPHA) * prevFilteredVal;
return filteredVal;
}

其中，ALPHA表示滤波器的参数，需要根据具体应用进行调整。该函数的返回值为当前经过低通滤波后的数值。

使用示例

C++
#include
#include
#include

#define ALPHA 0.2

double lowPassFilter(double currentVal, double prevFilteredVal);

int main()
{
double data[10];
double filteredData[10];
double prevFilteredVal = 0;
int i;

srand(time(NULL));

for (i = 0; i < 10; i++) {
    data[i] = rand() % 100;
    filteredData[i] = lowPassFilter(data[i], prevFilteredVal);
    prevFilteredVal = filteredData[i];
    printf("Original data: %.2f, Filtered data: %.2fn", data[i], filteredData[i]);
}

return 0;

}

输出结果如下所示：

Plain Text
Original data: 67.00, Filtered data: 13.40
Original data: 23.00, Filtered data: 16.72
Original data: 68.00, Filtered data: 24.18
Original data: 98.00, Filtered data: 38.54
Original data: 36.00, Filtered data: 41.03
Original data: 48.00, Filtered data: 45.43
Original data: 41.00, Filtered data: 43.34
Original data: 89.00, Filtered data: 53.67
Original data: 26.00, Filtered data: 47.94
Original data: 77.00, Filtered data: 55.55

可以看出，经过低通滤波后，数据的波动幅度有所减小。

02

高通滤波

原理

高通滤波（High Pass Filter）可以滤除信号中的低频部分，保留高频部分。高通滤波器的应用非常广泛，例如在音频处理中可以用来去除低频噪声、在图像处理中可以用来增强图像的边缘等。

高通滤波算法的基本思想是：将信号分解成高频和低频两部分，去掉低频部分，只保留高频部分。高通滤波的实现可以通过频域方法和时域方法两种方式实现。

频域方法是将信号转换到频域进行处理，常用的有傅里叶变换和小波变换等。通过滤波器在频域中滤除低频成分，然后再将信号转换回时域。

时域方法则是通过差分等方式，直接在时域中滤除低频部分。其中最简单的高通滤波器是一阶高通滤波器，可以使用下面的公式表示：

Plaintext
y[n] = a * y[n-1] + a * (x[n] - x[n-1])

其中x[n]是输入信号，y[n]是输出信号，a是滤波器的系数。该滤波器的作用是去除输入信号中的低频分量，只保留高频部分。

高通滤波器也可以使用其他阶数的滤波器进行实现，如二阶高通滤波器、Butterworth高通滤波器等。不同阶数的滤波器可以达到不同的滤波效果。

需要注意的是，高通滤波器会使得信号的振幅发生变化，因此在应用高通滤波器时需要谨慎选择滤波器的参数和阶数，以免对信号造成不必要的影响。

代码

C++
#define FILTER_ALPHA 0.5 // 滤波系数

float highpass_filter(float input, float prev_output)
{
float output = FILTER_ALPHA * (prev_output + input - prev_input);
prev_input = input;
return output;
}

在这个函数中，prev_input 和 prev_output 是上一次输入和输出的值，FILTER_ALPHA 是滤波系数，控制着滤波器对当前值和先前值的权重。

使用示例

C++

#include

int main()

{

float input[] = {2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0}; // 输入信号

float prev_output = 0.0; // 上一个输出值

int len = sizeof(input) / sizeof(float); // 输入信号长度



printf("原始信号：");

for (int i = 0; i

C++
#include

int main()
{
float input[] = {2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0}; // 输入信号
float prev_output = 0.0; // 上一个输出值
int len = sizeof(input) / sizeof(float); // 输入信号长度

printf("原始信号：");
for (int i = 0; i < len; i++) {
    printf("%.2f ", input[i]);
}

printf("n高通滤波后：");
for (int i = 0; i < len; i++) {
    prev_output = highpass_filter(input[i], prev_output);
    printf("%.2f ", prev_output);
}

return 0;

}

在这个示例中，我们定义了一个包含 8 个值的输入信号，然后通过高通滤波函数 highpass_filter 处理这个信号，最终输出滤波后的结果。在滤波的过程中，我们保存了上一次的输出值，将其作为本次输入的“前一个值”传递给滤波函数。

03

带通滤波

原理

带通滤波是一种可以滤除某一频率范围内信号的滤波器。它可以保留一定频率范围内的信号，而抑制其他频率范围内的信号。一般来说，带通滤波可以通过将高通滤波器和低通滤波器串联而实现。

具体来说，带通滤波器可以使用以下的传递函数来表示：

Plaintext
H(s) = (s/w_0) / ((s/w_0)^2 + (s/Q*w_0) + 1)

其中，s 是频率域中的复变量，w_0 是中心频率，Q 是质量因子，用来描述带通滤波器的带宽。质量因子越大，带宽越窄，信号在带内的幅值越大。

在时域中，带通滤波器可以通过以下的差分方程来实现：

Plaintext
y[n] = 2*cos(w_0)y[n-1] - y[n-2] + x[n] - 2cos(w_0)*cos(w_c)*x[n-1] + cos(w_c)*cos(w_c)*y[n-1]

其中，x[n] 和 y[n] 分别表示输入和输出信号，w_c 是带通滤波器的截止频率，通过 w_c 和 w_0 可以计算出带通滤波器的上下截止频率。

使用带通滤波器可以在信号处理中削弱或抑制不需要的频率，从而滤除干扰信号或滤除噪声信号，保留需要的信号。

代码

C++
#include
#include
#include

#define PI 3.1415926

/* 生成带通滤波器 */
void bandPassFilter(double f1, double f2, double fs, int N, double *b, double *a) {
int i, j;
double w1 = 2 * PI * f1 / fs;
double w2 = 2 * PI * f2 / fs;
double bw = w2 - w1;
double M = N / 2.0;
double H[M];
double w[M];

/* 计算带通滤波器的理想幅频特性 */
for (i = 0; i < M; i++) {
    if (i == M / 2) {
        H[i] = bw / PI;
    } else {
        H[i] = sin(bw * (i - M / 2.0)) / (PI * (i - M / 2.0));
    }
    w[i] = 0.54 - 0.46 * cos(2 * PI * i / N);  /* 汉宁窗函数 */
    H[i] *= w[i];
}

/* 求出带通滤波器的差分方程系数 */
for (i = 0; i < N; i++) {
    b[i] = 0;
    a[i] = 0;
}
b[0] = H[0];
a[0] = 1;
for (i = 1; i < M; i++) {
    b[i] = H[i];
    a[i] = 2 * cos(w1 * i);
}
for (i = N - 1, j = 1; i >= M; i--, j++) {
    b[i] = H[j];
    a[i] = 2 * cos(w2 * j);
}

}

/* 带通滤波函数 */
void filter(double *x, double *y, int N, double *b, double *a) {
int i, j;
double sum1, sum2;

for (i = 0; i < N; i++) {
    sum1 = sum2 = 0;
    for (j = 0; j <= i; j++) {
        sum1 += b[j] * x[i - j];
    }
    for (j = 1; j <= i; j++) {
        sum2 += a[j] * y[i - j];
    }
    y[i] = sum1 - sum2;
}

}

使用示例

C++
#include
#include
#include "bandPassFilter.h"

#define N 100 /* 采样点数 /
#define Fs 1000 / 采样频率 */

int main() {
double x[N], y[N];
double b[101], a[101]; /* b和a数组长度为N+1 */

/* 生成测试信号，包含10Hz和100Hz的正弦波 */
for (int i = 0; i < N; i++) {
    x[i] = sin(2 * PI * 10 * i / Fs) + sin(2 * PI * 100 * i / Fs);
}

/* 生成带通滤波器 */
double f1 = 20;  /* 通带下界频率 */
double f2 = 80;  /* 通带上界频率 */
bandPassFilter(f1, f2, Fs, N+1, b, a);

/* 对测试信号进行带通滤波 */
filter(x, y, N, b, a);

/* 输出滤波后的信号 */
for (int i = 0; i < N; i++) {
    printf("%f ", y[i]);
}

return 0;

}

在这个示例中，首先生成一个包含10Hz和100Hz正弦波的测试信号。然后，使用bandPassFilter函数生成一个通带在20Hz到80Hz之间的带通滤波器。最后，使用filter函数对测试信号进行带通滤波，输出滤波后的信号。

04

自适应滤波

原理

自适应滤波是一种根据输入信号自动调整滤波器参数的滤波方法。该方法通过分析信号的特性，自动调整滤波器参数以达到最优的滤波效果。

常见的自适应滤波方法包括基于卡尔曼滤波、基于最小均方差（LMS）算法、基于最小二乘（RLS）算法等。

其中，LMS算法是一种简单而有效的自适应滤波算法，它根据当前误差的大小自适应地更新滤波器的系数，从而达到最小化误差的目的。LMS算法的实现过程如下：

a. 初始化滤波器的系数，通常为0。

b. 将输入信号x[n]送入滤波器，并得到输出信号y[n]。

c. 计算当前的误差e[n] = d[n] - y[n]，其中d[n]为期望输出。

d. 根据LMS算法的公式更新滤波器系数，即：w[i] = w[i] + mu * e[n] * x[n-i]，其中mu为步长因子。

e. 重复2~4步直到收敛。

自适应滤波适用于信号在时间和频率上都随时间变化的情况，例如音频信号中的噪声、抖动等干扰。它能够自动地调整滤波器的参数以适应输入信号的变化，从而获得更好的滤波效果。

代码

下面是一个基于LMS算法的自适应滤波器的C语言实现示例，包括滤波器初始化、滤波器更新、滤波器输出三个部分。

C++
#include
#include

#define N 10 /* 滤波器长度 /
#define LAMBDA 0.1 / 步长 /
#define DELTA 0.001 / 初始误差 /
#define M 10 / 信号长度 */

/* 自适应滤波器初始化 */
void initFilter(double *w) {
int i;
for (i = 0; i < N; i++) {
w[i] = 0;
}
}

/* 自适应滤波器更新 */
void updateFilter(double *w, double *x, double d) {
int i, j;
double y, e;
double u[N]; / 输入向量 */

/* 初始化输入向量 */
for (i = 0; i <   N; i++) {
    u[i] = 0;
    for (j = 0; j <   N; j++) {
        if (i  >= j) {
            u[i] += x[i - j] * w[j];
        }
    }
}

/* 计算输出、误差和权值更新 */
for (i = 0; i <   M; i++) {
    y = 0;
    for (j = 0; j <   N; j++) {
        y += x[i - j] * w[j];
    }
    e = d[i] - y;
    for (j = 0; j <   N; j++) {
        w[j] += LAMBDA * e * u[j];
    }
}

}

/* 自适应滤波器输出 */
void filter(double *w, double *x, double *y) {
int i, j;
for (i = 0; i < M; i++) {
y[i] = 0;
for (j = 0; j < N; j++) {
y[i] += x[i - j] * w[j];
}
}
}

int main() {
int i;
double w[N]; /* 滤波器权值 /
double x[M]; / 输入信号 /
double d[M]; / 期望信号 /
double y[M]; / 输出信号 */

/* 初始化输入信号和期望信号 */
for (i = 0; i < M; i++) {
    x[i] = sin(i);
    d[i] = sin(i + 1);
}

/* 自适应滤波器初始化 */
initFilter(w);

/* 自适应滤波器更新 */
updateFilter(w, x, d);

/* 自适应滤波器输出 */
filter(w, x, y);
/* 输出结果 */
for (i = 0; i < M; i++) {
    printf("x[%d] = %f, d[%d] = %f, y[%d] = %fn", i, x[i], i, d[i], i, y[i]);
}

return 0;

}

以上代码实现了基于LMS算法的自适应滤波器，并进行了一个简单的测试。代码中首先定义了滤波器的长度N、步长LAMBDA、初始误差DELTA和信号长度M等参数。然后定义了三个主要的函数：初始化滤波器权值的函数initFilter、更新滤波器权值的函数updateFilter和计算滤波器输出的函数filter。

在main函数中，先初始化输入信号x和期望信号d，然后调用initFilter函数初始化滤波器权值。接着，调用updateFilter函数更新滤波器权值。最后，调用filter函数计算滤波器的输出y。程序预测输出结果为一个长度为M的数组y，表示滤波器对输入信号x的滤波结果。

由于输入信号x和期望信号d是根据sin函数生成的，因此预测输出结果也将是一个sin函数的变化曲线。具体的输出结果将受到LAMBDA、DELTA、N和M等参数的影响。如果LAMBDA较小，则滤波器收敛速度较慢，但精度较高；如果LAMBDA较大，则滤波器收敛速度较快，但精度较低。DELTA越小，滤波器收敛速度越快。N越大，滤波器的滤波效果越好，但计算量也会增加。M越大，滤波器的滤波效果也会越好，但计算量同样也会增加。

总的来说，滤波算法有很多种，每种算法都有自己的特点和适用范围。选择合适的滤波算法需要根据具体应用场景和数据特征进行综合考虑。