信号完整性-传输线的模型简析

13.1 传输线的一阶模型

理想传输线是一种新的理想电路元件，它有两个重要的特征：恒定的瞬时阻抗和相应的时延。这个理想模型是连续分布式模型，因为理想传输线的各个特性分布在整条传输线上，而不是集中在一个集总点上。

从物理上讲，可控阻抗传输线是由两条一定长度且横截面均匀的导线组成的。前面介绍了零阶模型，它把传输线描述成一系列相互有一定间距的电容器的集合。然而这仅是物理模型，并不是等效电气模型。

把信号路径和返回路径导线的每一小节描述成回路电感，就能进一步近似物理传输线。如下图所示，这个最简单的传输线等效电路模型中，每两个小电容器就被一个小回路电感器隔开。图中C表示两条导线之间的电容，L表示两小节之间的回路电感。

每一节信号路径或返回路径都有各自的局部自感。在两个分立电容器之间的两节信号路径-返回路径之间又存在局部互感。对于非平衡传输线，如微带线，每一节中信号路径的局部自感与返回路径的局部自感是不同的，其中信号路径的局部自感要比返回路径的局部自感大10倍以上。

但是对信号而言，当它在传输线上传播时，实际传播的是从信号路径到返回路径的电流回路。从这种意义上讲，所有信号电流流经的一个回路电感，由信号路径节和返回路径节构成。对于传输线上的信号传播和大多数串扰而言，信号路径和返回路径的局部电感并不怎么重要，只有回路电感才是重要的。当把理想的分布传输线近似为一系列的LC电路时，模型中表示的电感实际上就是回路电感。

由C和L组成的传输线一阶等效电路模型是理想传输线的近似。在极端的情况下，若电容器和电感器的尺寸逐渐减小而节数逐渐增多，近似程度就会更好。

在极端情况下，当电容器和电感器无穷小，而LC电路的节数趋于无穷时，单位长度电容C_L和单位长度电感L_L都为常数。这两个参数通常称为传输线的线参数。

信号沿网络传输时，在每节点上都受到恒定的瞬时阻抗。这个瞬时阻抗与理想分布传输线元件的瞬时阻抗是一样的，它在数值上与导线的特性阻抗相等。同理，从信号进入LC网络到信号输出会有一个有限的时延。

根据传输线的线参数和总长度，可以计算出传输线的特性阻抗和时延，即：

因为信号的速度取决于材料的介电常数、单位长度电容和单位长度电感，所以可将单位长度电容与单位长度电感关联如下：

从特性阻抗和速度的关系，可以得出下列关系式：

从传输线的时延和特性阻抗，可以得出下列关系式：

其中，Z_0表示特性阻抗(单位为Ω)，L_L表示传输线的单位长度回路电感(单位为nH/in)，C_L表示传输线的单位长度电容(单位为pF/in)，T_D表示传输线的时延(单位为ns)，L_total表示传输线的总回路电感(单位为nH)，C_total表示传输线的总电容(单位为pF)，v表示传输线中的信号速度(单位为in/ns)。

所有介电常数为4的50Ω传输线，其单位长度电容都相同，约为3.3 pF/in。单位长度回路电感也都相同，约为8.3nH/in。

当信号边沿快速传播时，它既没看到电容C和实现充电所需的时间常数RC，也没看到电感L和导致上升边变慢的时间常数L/R。相反，它看到了一种崭新的优异特质，即可以支持传输任何上升边信号的瞬时阻抗。对边沿信号而言，传输线看上去既不像电感，也不像电容，它像一个电阻性元件。

13.2 特性阻抗的近似计算

设计一个指定的特性阻抗，实际上就是不断调整线宽、介质厚度和介电常数的过程。如果知道传输线的长度和导线周围材料的介电常数，计算出特性阻抗并运用上面的关系式，就可以计算出其他所有参数。

经验法则 ：FR4板上50Ω微带线的线宽等于介质厚度的2倍。而50Ω带状线的两平面之间的总介质厚度等于线宽的2倍。

对于微带线，推荐的通用近似式为：

对于带状线，推荐的通用近似式为：

其中，Z_0表示特性阻抗(单位为Ω)，h表示信号线与平面之间的介质厚度(单位为mil)，w表示线宽(单位为mil)，b表示平面之间的距离(单位为mil)，t表示金属厚度(单位为mil)，ε_r表示介电常数。

在一阶模型中，微带线和带状线的特性阻抗与介质厚度和线宽的比值成比例变化。只要这个比值保持不变，特性阻抗就恒定不变。

13.3 n节集总电路模型

根据理想传输线的时延，可以估算出n节集总电路模型的带宽。LC模型的节数越多，带宽就越高。一节模型的带宽只有第一个谐振频率的1/4，两节模型的带宽为第一个谐振频率的1/2，16节模型的带宽为第4个谐振频率。我们可以归纳出吻合的最高频率，即模型的带宽为：

其中，BW_model表示n节集总电路模型的带宽，n表示模型中LC的节数，T_D表示传输线的时延，f_0表示全波的谐振频率， f_0=1/T_D 。

要使模型的带宽达到1/T_D，需要10节LC电路。也就是说，因为这个频率相当于传输线上仅有一个全波，为了更好地近似，每1/10个信号波长就必须对应1节LC电路。

例如，如果互连的时延T_D=1ns，要求n节LC近似模型的带宽为5GHz，则至少需要**n=10×5GHz×1ns=50**节。在最高频率时，传输线上有**5GHz×1ns=5**个波长。每个波长需要10节，因此要获得较好的近似效果，需要**5×10=50**节LC电路。

我们也可以估算出用单个LC电路近似传输线时的带宽有多高。或者说，在多高的频率范围内，传输线可以近似成单个LC电路。单个LC电路的带宽为：

传输线的时延越长，可以用单个LC模型近似的频率就越低。

如果信号的上升边为RT，则信号的带宽(最高有效正弦波频率成分)为：

如果传输线的时延为T_D，并用n节集总电路模型来近似，那么必须确保模型的带宽BW_model应至少大于信号带宽BW_sig，即：

即：

即：

其中，BW_sig表示信号的带宽，BW_model表示模型的带宽，RT表示信号的上升边，T_D表示传输线的时延，n表示准确模型所需LC电路的最少节数。

如果上升边等于传输线的时延，则此传输线的准确模型至少需要3.5节LC电路。在这种情况下，上升边的空间延伸就等于传输线的长度。

经验法则 ：当给定上升边RT(单位为ns)值时，n节LC集总电路模型为了达到足够高的带宽，每节LC电路对应的线长(单位为in)值必须小于1.7×RT。

当然，无论是在低频还是在高频，理想分布传输线模型总是均匀互连的更好模型。

本节评估了依据信号带宽及其精确度，在对实际传输线建模时所需LC电路的最少节数。但这仍是带宽受限下的一种近似做法。在为实际传输线选配模型时，可以根据对特性阻抗和时延的要求，先定义一个理想传输线作为首选。在非常罕见的情况下，当问题也是用L或C值表征的时候，就可以采用上述的n节集总参数模型来模拟真实的传输线。但是，还是从一个理想传输线模型先建模。

13.4 特性阻抗随频率的变化

到目前为止都假设传输线的特性阻抗与频率无关。但是，我们已经知道，从传输线前端看进去的输入阻抗与频率有密切的关系。毕竟，在低频情况下，远端开路传输线的输入阻抗看上去像一个电容器，起初阻抗较高，再下降到很低。

假设随着频率的变化，互连的介电常数是个常数，那么单位长度电容也恒定不变。虽然在某些情况下，介电常数会有微小的变化，但对大多数材料而言这个假设是合理的。

由于趋肤效应的影响，单位长度电感会随频率而变化。实际上，在低频时回路电感比较高，但是随着越来越多的电流分布在外表面，回路电感将下降。这说明，在低频时特性阻抗比较高，随着频率的升高，特性阻抗将下降到某一恒定值。

使用二维场求解器，可以计算出1盎司铜制成的50Ω微带线的特性阻抗与频率的关系，在低频时特性阻抗比较高，约在1MHz开始下降，且直到50MHz以前都一直在下降。从直流到高频，特性阻抗的总下降量约为7Ω，即变化小于15%。

约50 MHz以上时，传输线的特性阻抗是个常数，不再随频率变化。这个值就是通常用于估计各种高速信号性能的“高频”特性阻抗。