滤波器设计指南

作者：Kevan Hashemi / Brandeis University

大家好，今天我们一起来看这一份滤波器设计指南， 网站上提供了比较详细的滤波器设计表格工具，大家可以自行在网站上下载。指南原文为英文。

指南主要内容如下：

有源滤波器

有源低通滤波器

有源高通滤波器

工作频率

滤波器多项式

无源滤波器

递归滤波器

匹配网络

脉冲整形器

表面声波滤波器

传输线

组件精度

本指南试图通过讨论BNDHEP和OSI构建和使用的实际电路来教授有源和无源滤波器电路的设计和实现。我们的讨论从高通和低通滤波器开始。我们研究了在低频下工作良好的有源实现和在高频下工作良好的无源实现。我们考虑匹配网络，它在高频下对于匹配源和负载很重要。我们讨论表面声波滤波器，它在小包装中提供惊人的性能。在每种情况下，我们都将讨论限制在我们自己构建和使用的电路上。传输线是滤波器的一种形式，但我们在传输线分析中单独详细讨论这些。

如果您不熟悉电容器、电感器和电阻器，我们将在电子学入门课程的前三堂课中介绍这些组件。我们总是可以单独使用微分方程推导出由电容器、电感器和电阻器组成的滤波器的行为。但是如果我们使用复阻抗的方法，我们可以比微分方程更快地推导出它的频率响应。如果我们使用拉普拉斯变换，我们可以同样轻松地推导出频率响应、阶跃响应和脉冲响应。在下面的每个推导中，我们选择这三种方法之一。例如，在我们关于脉冲整形器的部分中，我们在没有拉普拉斯变换帮助的情况下介绍了滤波器的脉冲响应，只是为了展示它是如何完成的。

我们的滤波器工具是一个电子表格，用于计算和绘制各种滤波器的频率响应。我们有两个版本的电子表格：Filter.ods用于 Open Office，Filter.xls用于 Microsoft Excel。我们使用 Open Office 来创建电子表格，因此 Open Office 版本会更可靠。(电子表格可在网站下载)

有源滤波器

一个有源滤波器包含一个放大器，其输出通过无源元件，通常是电容器和电阻器连接到其输入端。输出到输入的这种反馈使我们能够仅使用电容器和电阻器来构建具有虚极点的滤波器。如果没有反馈，具有虚极的滤波器必须同时具有电感器和电容器。有源滤波器的主要目的是消除电感器并降低滤波器电容器的值。

图：四极有源低通滤波器。双运算放大器提供两级，每一级产生响应的两个极点。

在由电感器、电容器和电阻器组成的经典无源滤波器中，滤波器的频率响应是电感器和电容器的阻抗相互变化以及滤波器中电阻变化的结果。在滤波器的截止频率下，其所有元件的阻抗将具有相同的数量级。假设电阻器的数量级为 1 kΩ，那么电感器和电容器也将具有大约 1 kΩ 的阻抗。如果滤波器的截止频率为 1 kHz，则电感量级为 100 mH。它们可能是 30 mH 或 300 mH，但不会比这少或多。该RL622-104K-RC是一个 100 mH 的电感器。它是一个高 11 毫米、宽 8 毫米的通孔部件，售价约为 50 美分。假设我们将电阻降至 10 Ω。现在电感量级为 1 mH。我们可以使用1812R-105J这是一个 4 毫米长的表面贴装部件。它们的售价约为 1 美元。通过减少电阻器的值，我们减少了电感器，这是一件好事，但我们也增加了电容器。在 1 kHz 时阻抗为 10 Ω 的电容器为 10 μF。我们可以花 20 美分左右买到一个 10μF 的表面贴装电容器。现在我们可以用 1kHz、1V 的正弦波驱动电路。由于电阻为 10 Ω，我们将从电压源抽取 100 mA 的电流。所以我们可以将信号的大小减小到 10 mV 左右，现在我们只消耗 1 mA。现在我们必须考虑另一个问题：组件的精度问题。在四极点滤波器中，元件值需要精确到 5% 以内，否则极点会出错，滤波器响应也不会很尖锐。如果我们必须将滤波器的频率降至 100 Hz。

借助低成本、低功耗运算放大器 ( op-amp )的反馈，我们可以消除电感器并在整个滤波器中使用相同的电容。如果我们使用来自同一卷零件的电容器，它们的值是相似的。电容器的相对值对滤波器响应形状最重要。我们使用不同值的电阻器，但与精密电容器相比，精密电阻器更便宜。很难找到准确度为 1% 的电容器，但准确度为 1% 的电阻器的成本仅为几美分。如果我们想改变过滤功能，我们只需要购买新的电阻。在我们的过滤工具的帮助下，我们可以尝试不同的电阻值，看看响应会是什么样子。结果是具有精确响应的紧凑型多功能滤波器。这是一个示例150Hz 低通滤波器在印刷电路板的一侧占据 10 平方毫米的面积，消耗小于 5μA，所有这些都低于 5 美元。我们在下面讨论工作频率，但让我们首先概述工作频率如何影响您选择的滤波器实现。

在低于 1 kHz 的频率下，使用有源滤波器几乎总是更好，因为在这些低频下，无源滤波器所需的电感器又大又贵，而低频运算放大器又便宜又小。在 1 kHz 和 10 MHz 之间，我们可能会使用有源滤波器，或者我们可能会使用由电感器和电容器组成的无源滤波器。这取决于我们可以提供给有源滤波器放大器的功率大小。我们可以提供的功率越大，我们选择放大器的速度就越快，有源滤波器的有效频率就越高。现在，对于 10 mA 的预算，您可以构建一个截止频率为 10 MHz 的有源低通滤波器。在这您会发现一个 1.6-MHz 四极点低通滤波器的原理图。阅读以下部分后，您将知道如何将滤波器级的增益和时间常数输入到我们的滤波器工具中，并亲自查看滤波器的响应。

在高达 100 kHz 的频率下，您可以选择有源滤波器实现方式：您可以使用运算放大器、电容器和电阻器来构建它们，或者您可以使用可编程模拟电路，如 Lattice Semiconductor 的PAC系列芯片。

在 10 MHz 以上的频率下，电感器体积小且价格低廉，而运算放大器的速度已不足以有效实现滤波器功能。除了我们从Minicircuits购买的经典电感电容 (LC) 滤波器之外，您还可以获得陶瓷滤波器、表面声波 (SAW) 滤波器和晶体滤波器。一个 900 MHz 的 SAW 带通滤波器只需几美元，其响应与 10 极点 LC 带通滤波器一样敏锐。

有源低通滤波器

有许多低通有源滤波器电路。我们使用下图所示的那个。如您所见，运算放大器的输出通过电容器反馈到其正输入。该电容器在电路方程中充当电感器。输出也被馈送通过一个电阻分压器回到负输入，并且该除法得到有源滤波器其增益

在拉普拉斯域中，上面的电路有一个带有两个虚极的传递函数。我们推导出下面的传递函数。在拉普拉斯域中，电阻器的电压与电流之比为R，电容器为 1/ sC，电感器为sL。我们表示在点电压的拉普拉斯变换X字母X，等等。我们通过用j ω替换传递函数中的拉普拉斯变量s来获得正弦输入电路的复数增益，其中j = √(-1) 并且 ω 是滤波器正弦输入的角频率。

当我们改变A 时，同时保持RC不变，其传递函数的极点离开s平面的负实轴，并沿着圆的圆周移动到虚轴。这个圆的半径是1/RC，它的中心是原点。下图显示了圆的左上象限。

巴特沃斯滤波器是与过滤器最大平坦在其通带内的幅度响应。通过截止频率，我们是指在其中巴特沃斯滤波器输出下降到其值的71%(1 /√2)的频率最大振幅在较低频率。Butterworth 滤波器的最大幅度出现在 0 rad/s 处，而Chebyshev滤波器的最大幅度出现在低于截止频率的几个其他频率处。

恰好具有截止频率 ω c的巴特沃斯低通滤波器的极点均匀分布在以s平面原点为中心、半径为 ω c的半圆的圆周上。二极滤波器的极点为±45°。四极滤波器的那些为±22.5°和±67.5°。下表给出了具有 1 到 8 个极点且截止频率为 1 rad/s 的低通巴特沃斯滤波器的极点。这些称为归一化巴特沃斯多项式的极点。

转到我们滤波器工具中的两极LPF、三极 LPF 和四极 LPF 表，您将看到可以输入二极、三极和四极滤波器极点的地方。您可以通过给出其实部和虚部的绝对值来指定一对共轭极点。您可以通过仅给出其实部来指定三极滤波器中的孤立极点。我们提供了各种滤波器函数的示例极点集表。当您输入新的极点值时，滤波器工具会绘制出极点的幅度响应。

我们使用单个运算放大器级实现每个共轭极点，如上所示。我们可以使用 RC 网络或在另一个运算放大器级中实现单独极点，在其反馈电阻器上放置一个电容器。这种单极运算放大器级允许我们同时进行放大和滤波。使用两个运算放大器，我们可以实现带放大功能的三极低通滤波器。在这电路，你会看到一个由两个运算放大器组成的三极滤波器。它有一个 10-MΩ 的输入电阻，带有一个 0.15-Hz 高通滤波器，后跟一个三极点滤波器，并提供 25 的总增益。我们在第一个运算放大器的反馈电阻器上使用一个电容器来实现单极点. 在高频下，电容器将第一个运算放大器级的 ×11 增益降低到 ×1。理想情况下，电容器应将增益降低到 ×0，如果我们将运算放大器布置为反相放大器，就会如此。但是增益从 ×11 减少到 ×1 是一个足够好的近似值，我们的滤波器可以很好地工作。

频率图从 0 rad/s 扩展到 3 rad/s。该图旨在与归一化滤波器多项式的极点一起使用，这些多项式的截止频率为 1 rad/s。如果我们想使具有截止频率ω4极巴特沃斯低通滤波器Ç使用有源滤波器级等中示出的一个以上，我们建立两个阶段，每个RC = 1 /ω ç，并挑选的值甲每个阶段的放它的两个共轭极点在正确的位置的半径ω电路上ç在小号-平面。A 的这些值与ω c无关，因此我们可以查看极点轨迹图及以上的标准化波兰人表，并找出增益，我们需要生产标准化巴特沃斯滤波器的极点。我们在截止频率为 ω c 的滤波器中使用这些A值。您可以通过在极点轨迹中的点之间进行插值来以足够的精度确定A，知道这些点代表A中 0.1 的步长，从 1.0 开始，两个极点一起位于负实轴上。

不是使用极点轨迹来确定巴特沃斯滤波器级的正确A值，而是在我们的滤波器工具中选择极点轨迹表。在那里你会找到我们的极点轨迹图的数据，以及一个你可以输入A和RC值的地方，并得到结果共轭极对的极点实部和虚部。我们已经为您完成了这项工作，并提供了A的正确值在下表中。请注意，具有奇数极点的滤波器只需要一个 RC 网络来实现负实轴上的孤立极点。如果您想知道：阶段的顺序并不重要。该滤波器适用于任何正确增益值序列。

在我们滤波器工具的第 5 页，您将看到如何改变一级、一级半和二级有源滤波器的A和RC以创建两极、三极和四极低通滤波器。如果将RC设置为 1，并输入上表中A的巴特沃斯值，您将看到巴特沃斯最大平坦幅度响应，截止频率为 1 弧度/秒 (0.16 Hz)。巴特沃斯滤波器的所有级都具有RC =1/ω c，其中 ω c是以 rad/s 为单位的截止频率。我们有f c = ω/2π 以赫兹为单位的截止频率。改变RC对于每个阶段的因子为两倍左右，以及改变A，您将获得各种其他响应，尤其是使用两级滤波器时。我们提供ω c = 1 rad/s 的RC和A值。试试 Chebyshev 0.5-dB 纹波响应，我们在下面展示。

如果您想构建一个响应形状与上图相同但截止频率为 ω c 的滤波器，请将每个级的RC除以 ω c，但保持A不变。您现在将拥有相同的响应形状，但频率轴按 ω c缩放。您可以在我们的滤波器工具的有源 LPF 表中试验A和RC 的值，以查看最终的滤波器响应是什么样的。你会发现试图获得Chebyshev 3-dB Ripple通过反复试验做出反应是困难的。这就是为什么我们倾向于使用预先计算的极点表来构建我们的过滤器。

有源高通滤波器

您可以通过更换电阻和电容将低通滤波器更改为高通滤波器，如下所示。传递函数的极点保持固定，但我们在原点引入两个零点。

正如我们从它的传递函数中看到的，高通滤波器相当于一个双微分器与我们使用相同电阻和电容值获得的相同低通滤波器串联。在高频下，双微分器的放大被低通滤波器的衰减抵消，从而使我们得到平坦的响应。在低频时，双微分器的衰减占主导地位，并导致输出幅度随着频率的降低而降低。当输入角频率 ω 等于 1/ RC 时，高通滤波器和低通滤波器的响应相等。考虑传递函数的另一种方式是说高通滤波器响应是经过变换RCs的低通滤波器响应= 1/ RCs'，因此高通滤波器在角频率 1/ RC 下的响应等于低通滤波器在相同频率下的响应，而在角频率 2/ RC 下它等于低通滤波器的响应频率为 1/2 RC 的滤波器。

您会在此处找到 19 kHz 两极巴特沃斯高通滤波器的糟糕绘图，以及随附的计算。电容器为 4.7 nF，R为 1.8 kΩ，A = 1.59。

运行频率

用无源元件制成的滤波器随着截止频率的降低而变得更大更重。由电感器和电容器制成的 10 kHz 高通滤波器为 50 Ω 负载供电，必须包含阻抗为 50 / 2π.10kHz ≈ 1 mH 数量级的电感器。串联电阻小于 5 Ω(50 Ω 的 10%)的 1mH 电感器的价格低于 5 美元很难找到，而且每边至少有 15 毫米。在 10 kHz 时阻抗为 50 Ω 的电容器大约为 330 μF。这种尺寸的电容器往往是电解的，因此是极化的，因此您无法将它们连接到交流电压。当我们降到 100 Hz 时，电感器和电容器是巨大的，而且我们现在倾向于看到它们仅用于过滤电源。

无源滤波器在低频时很笨重，但有源滤波器在高频时停止工作。大多数有源滤波器中的放大器是运算放大器或运算放大器。运算放大器是具有负输入和正输入的高增益差分放大器。它们有自己的内部增益，在低频时很大，但随着频率的增加而下降。大多数运算放大器都有内部补偿，这意味着它们在内部某处有一个电容器，用作与它们的大增益串联的单极点低通滤波器。如果没有这种补偿，运算放大器在反馈回路中往往不稳定，设计人员不喜欢担心运算放大器电路的不稳定。即使没有电容器，运算放大器的增益也会随频率下降，但它以一种不规则且不可预测的方式下降。

由于补偿电容，运算放大器反馈放大器的增益与其半功率带宽成反比，因此我们有运算放大器的增益带宽积，它是任何反馈增益的乘积由运算放大器制成的放大器以及运算放大器内部增益损失导致输出幅度下降 29% (3 dB) 的频率。

假设我们的运算放大器的增益带宽积为 1 MHz，我们在此滤波器中使用的OPA2277就是这种情况。滤波器的第二级增益为 2.27，因此其带宽为 1 MHz / 2.27 ≈ 400 kHz。滤波器的截止频率f c为 10 kHz。放大器带宽比截止频率大四十倍。我们的经验法则是放大器带宽应至少比滤波器截止频率大十倍。凭借大约两 (2) 的级增益，OPA2277 使我们能够构建截止频率高达 40 kHz 的滤波器。

我们最喜欢的另一款运算放大器LM6172具有 100 MHz 的增益带宽积，并支持截止频率高达 10 MHz 的滤波器。在较高频率下，使用有源滤波器没有多大意义，因为电感器更简单(前提是您知道如何设计无源滤波器)。考虑一个由 50 Ω 源驱动并由 50 Ω 负载端接的无源 10 MHz 低通滤波器。滤波器中的电感器应具有与 10 MHz 下的 50 Ω 相当的阻抗，这意味着它们的电感L, 应为 50 / 2π.10MHz ≈ 1 μH。我们可以用不到 10 美分的价格购买一个采用 P0805 表面贴装封装、串联电阻小于 0.2 Ω、自谐振频率为 100 MHz 的 1-μH 电感器。滤波器在 1000 MHz 下无法很好地工作，因为廉价电感器的寄生电容将使 1000 MHz 频率通过滤波器，但是您可以使用辅助单极低电平来阻止比截止频率高 10 倍的频率截止频率为 100 MHz 的通滤波器。你可以用一个电容器和一个电阻器来制作那个滤波器。您可以在网上找到归一化滤波器的电感器和电容器值表。低通切比雪夫滤波器的表格在这里。

可编程模拟电路，例如Maxim Semiconductor和Lattice Semiconductor提供的那些，使用模拟开关和电容器来制作开关电容滤波器。通过仅在 10% 的时间内将电容器连接到两个端子，您可以创建一个 10% 大的电容器。这些电路的速度受电容器开关频率的限制。最新的电路似乎支持高达 1 MHz 的开关频率，这意味着我们可以使用它们来制作工作频率高达 100 kHz 左右的滤波器。

就我们自己而言，我们使用低于 1 MHz 的有源滤波器，高于 10 MHz 的无源滤波器，并与我们自己争论这两者之间的范围。我们还没有看到对可编程滤波器的需求，但是当我们这样做时，我们期待在低于 100 kHz 的频率下使用它们。

滤波器多项式

通过在我们的滤波器工具的第二页上改变四极滤波器的极点，您将看到响应对极点值的敏感程度。的巴特沃斯多项式为我们提供了最平坦的通带幅度响应。输出幅度与输入幅度之比为 (1 + ω 2n /ω c 2n ) -½，其中n是滤波器中的极点数，ω 是输入频率，单位为 rad/s，ω c是截止频率，单位为 rad/s。这种幅度关系定义了巴特沃斯多项式。下图显示了归一化的二阶巴特沃斯多项式，s 2+ s√2 + 1，提供指定的频率响应。该归一化的多项式为ω的多项式c ^ = 1弧度/秒。这种标准化的二阶多项式的极是，我们在表中的两排给两极以上。

该切比雪夫多项式为我们提供了切比雪夫滤波器极点。Chebyshev 多项式允许您接受通带幅度响应的变化，以换取通带外更锐利的截止。归一化的二阶巴特沃斯幅度响应减少到 (1 + ω 4 ) −½。ω 2 中没有项。因为ω 2中没有项，所以幅度响应总是随着频率的增加而降低，并且不包含纹波。但是，如果我们可以接受通带幅度响应中的一些波纹，那么我们可以添加一个 ω 2项，它与 ω 4项配合，使响应更急剧地下降到高于 ω c。

您可以在此处查看Chebyshev 多项式推导的基础，我们在下表中为您提供了归一化 3-dB 通带纹波 Chebyshev 多项式，您可以在其中将它们与归一化巴特沃斯多项式进行比较。

表：3-dB 通带纹波的归一化切比雪夫多项式。我们缩放多项式，以便当s = 0时它们的值为 1 。多项式的常数部分始终为 1，这样可以更轻松地将其与相同阶数的巴特沃斯多项式进行比较。

上表中的所有多项式在s = 0 时的值为 1。如果我们的传递函数在其分母中有多项式，则其在 ω = 0 rad/s 时的增益将为 1。在 ω = 1 rad/s 时，所有多项式产生比ω ≤ 1 rad/s的最大增益小 3-dB 的增益。Butterworth 滤波器的最大增益为 1，出现在 ω = 0 rad/s，但 3-dB Chebyshev 滤波器的最大增益为 √2，即比 1 大 3 dB，并且出现在一个或多个值处ω 在 0 rad/s 和 1 rad/s 之间。Chebyshev 滤波器在 ω = 1 rad/s 时的增益为 1。

图：十极 3-dB 纹波切比雪夫和巴特沃斯低通响应。Chebyshev 响应在截止频率的 10% 内下降 30 dB。您可以使用我们的滤波器工具的十极 LPF 表来调整纹波并查看它如何影响响应。

通过比较 Chebyshev 和 Butterworth 多项式，您可以了解为什么 Chebyshev 在其通带外提供更尖锐的截止。所述š 5在第五阶切比雪夫多项式具有系数15.9术语，而š 5术语在巴特沃思多项式具有系数1。对于频率小于ω Ç，五阶切比雪夫多项式余额其大小号5术语具有大小号4、s 3、s 2和s项。这种平衡是以这样一种方式完成的，即我们在s 中的最大系数的通带响应中产生最小量的纹波5 . 一旦 ω 超过 ω c，s 5项会迅速超过所有其他项，并导致响应突然下降。Chebyshev 滤波器不仅总是为我们提供比 Butterworth 滤波器更清晰的截止，而且优势随着滤波器的阶数而增长，如上图所示。

无源滤波器

甲无源滤波器是一个电感器，电容器和电阻器的组成。在大多数情况下，滤波器中唯一的电阻是源阻抗和负载阻抗。这些电阻器可能作为单独的电阻器组件存在于您的电路中，或者它们可能是提供信号的放大器和接收滤波器输出的放大器的固有特性。在上面关于滤波器多项式的部分中，我们展示了如何得出最符合您要求的频率多项式函数。无源滤波器通过与源阻抗和负载阻抗相互作用的电容器和电感器实现这些多项式频率响应。

我们将在本节后面介绍一个示例无源滤波器设计，但我们首先对该主题进行定量介绍。开始学习无源滤波器的一种方法是使用像这样的无源滤波器计算器。您输入源电阻和负载电阻，选择经典多项式频率响应(巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔，如上所述)，选择多项式的阶数(传递函数中频率的最高幂)，以及响应，例如巴特沃斯低通或高通滤波器的 -3 dB 点。计算器为您提供电路图，并为您提供以亨利 (H) 和法拉 (F) 为单位的电感器 (L) 和电容器 (C) 值。

经典的无源滤波器，例如上面链接的计算器设计的滤波器，采用横向梯形的形式，其中底部导轨是信号地，顶部导轨是一系列电感器或一系列电容器。它将是低通滤波器中的电感器和高通滤波器中的电容器。阶梯的阶梯(如果阶梯是垂直的，它们将是阶梯)是低通滤波器中的电容器和高通滤波器中的电感器。梯形图中电容器和电感器的总数等于频率多项式中频率的最高幂，并为我们提供了滤波器的阶数。梯形是无源滤波器的首选结构，因为连分数法 允许我们相对容易地将多项式频率函数转换为梯形电路。

鉴于滤波器是梯形滤波器，您需要为无源滤波器指定的另一件事是它是“并联”还是“串联”滤波器。甲分路滤波器是其中所述第一元件连接到信号接地(0V)。甲系列过滤器是在其中所述第一元件连接到第二元件，并且所述第二元件连接到地面。

如果您的源阻抗为零，则并联滤波器没有意义，因为接地组件不会影响具有零源阻抗的信号。但是在驱动无源滤波器时，零源阻抗在任何情况下都是不切实际的。从源头看，滤波器的阻抗在截止频率附近趋于急剧下降，无论它是并联还是串联布置。当滤波器阻抗下降时，从源汲取的电流将急剧增加，直到源不能再保持零源阻抗的出现，并且输入信号变得严重失真。因此，当我们针对零源阻抗进行设计时，滤波器的性能实际上会受到影响。有限的源阻抗会降低滤波器必须汲取的电流，但代价是会损失一些信号幅度。

无限负载阻抗也被证明是不切实际的，因为它需要无限值的电感器和无限小的电容器。实际上，只要源阻抗与负载阻抗之比大于 10，就很难用标准部件构建滤波器。当您考虑这些无源滤波器电路以及它们如何与您的放大器相互作用时，请记住，与电阻器R串联的电压源V等效于与并联的电流源I = V/R相同的电阻，R. 如果您的信号源是驱动 50 Ω 负载的 NPN 晶体管的集电极，则集电极等效于与该电阻串联的电压源。您可以通过电容器将输出分流到地以启动低通滤波器，或者您可以将电感器与其串联。另一方面，你不能用电感将它分流到地来启动高通滤波器，因为你会破坏晶体管的直流偏置。但是你可以从一个大串联电容开始，它的阻抗与源阻抗相比可以忽略不计，以将晶体管与直流滤波器隔离，然后用一个对地的电感分流器开始你的高通滤波器。

在所有情况下，以及在整个滤波器中，您会发现每个单独的电容器和电感器的阻抗与所需高通或低通截止频率下的源阻抗和负载阻抗具有相同的数量级。如果您的源阻抗为 50 Ω，负载阻抗为 500 Ω，则元件的阻抗将通过电路增加，因此最靠近源的阻抗为 50 Ω，而最靠近负载的阻抗为 500 Ω。

在源阻抗和负载阻抗较高或阻抗不匹配的情况下，您可能会使用有源滤波器。无源滤波器最有可能应用在放大器具有 50 Ω 输出和输入阻抗的射频电路中。但也有其他时候，无源滤波器是最简单、最紧凑的解决方案，我们将以一个为例进行研究。

考虑抗混叠滤波器由R45，L4，C31和R46在S2071_8。下图显示了该电路的外观，由 0805 表面贴装元件制成。

图：5 MHz 无源低通滤波器的照片。所有部件均采用 0805 表面贴装封装。

我们重新绘制下面的电路图，更改了组件名称。该滤波器提供 5 MHz 通带，在 20 MHz 时衰减为 20 dB，以便准备信号VR以 40 MSPS 进行数字化。两极最大平坦的巴特沃斯响应就足够了。电阻器R1将源阻抗插入信号路径。如果没有这个，L和C将在其自然谐振频率 1/(2π√( LC ))附近呈现接近零的阻抗，这将使提供输入X 的运算放大器过载。我们选择R1 = 100 Ω 以将输入电流限制为 5 mA(对于 0.5 V 应用信号)。

图：两极无源低通滤波器。我们有R1 = 100 Ω 和R2 = 1 kΩ。我们需要 5 MHz 的截止频率和 <1 dB 的通带衰减。

电阻器R2提供有限负载阻抗。与源阻抗相比，负载阻抗越大，滤波器对其通带内的频率的衰减就越小。如果我们选择R2 = 100 Ω，我们的输出将是我们输入幅度的一半。我们希望我们的滤波器尽可能少地衰减信号，因此我们希望选择比源阻抗大得多的负载阻抗。然而，负载阻抗越高，在 5 MHz 下产生可比阻抗所需的L值就越大。我们选择R2 = 1 kΩ。在低频时，滤波器衰减为 1 dB，这是轻微的。我们连接Y的放大器输入阻抗必须远大于 1 kΩ，否则会影响滤波器的性能。使用另一个运算放大器很容易实现远高于 1 kΩ 的输入阻抗。

我们现在计算该电路对于正弦输入的增益和相移。我们让电容器的阻抗为 1/ sC，电感器的阻抗为sL，电阻器的阻抗为R。这里我们使用s作为拉普拉斯变量。滤波器的传递函数是从Y点到 0 V 的阻抗除以通过滤波器从X到 0 V的阻抗之比。如果我们使用复指数来获得增益和相位，我们将遵循相同的程序，但阻抗设置为 1/ j ω C、j ω L和R，其中j = √(−1) 并且 ω 是角频率。在下面的计算中，我们确定了截止频率为 5 MHz 的最大平坦低通响应的L和C。

我们第一次执行上述计算时，在我们的笔记本中，我们失去了最大平坦响应所需的 √2 因子，得出的结论是 270 pF 和 3.3 μH 是正确的。我们用这些值构建了滤波器，对输入应用了正弦波，并在增加频率的同时测量了输入和输出幅度。我们获得了以下增益与频率的关系图。

如果我们将截止频率作为衰减下降到通带以下 3 dB 的点，我们会看到滤波器的实际截止频率约为 6 MHz。与通带中的最大平坦响应不同，我们在截止之前有一个 1dB 的纹波。就我们而言，这种反应与我们想要的反应非常接近。

递归过滤器

我们可以定期对输入电压进行采样，将样本数字化，然后在微处理器中执行滤波，而不是构建一个作用于输入电压以产生输出电压的滤波器。我们以采样频率对输入电压进行采样，我们表示为f s = 1/ T s。在采样和数字化之后，输入电压X(t)变成一个二进制值序列X n = X(nT s )。在每个样本时刻，我们计算滤波器输出Y i。如有必要，我们将Y i转换为电压序列Y(nT). 对于时间nT ≤ t < ( n +1) T，输出电压等于Y(nT)。X的初始数字化将产生一个整数值。但随后的计算可能发生在整数算术、浮点算术或整数分数算术中。

甲递归滤波器是一个其计算ÿ我作为输入样本的当前和过去的值的线性和，并输出样本本身的过去的值。因此，过滤器不仅对其输入进行操作，而且还参考其自身输出的历史记录。一般来说，递归滤波器的脉冲响应会永远持续下去，即使它变得非常小。以下等式给出了递归滤波器的一般形式。

Y i = a 0 X i + a 1 X i-1 + a 2 X i-2 + ... + a d X i-d + b 1 Y i-1 + b 2 Y i-2 + ... + b d y d这里d是过滤器的深度，它是我们必须保留多少X和Y样本才能计算过滤器输出。要实现深度为d的过滤器，我们必须存储 2 d 个值。过滤器还要求我们手头有 2 d + 1 个常数来计算线性和。

如果我们想使用递归滤波器来实现低通、高通或带通频率响应，我们必须有某种方法从滤波器常数确定其频率响应。确定其频率响应的一种方法是在软件中实现，应用频率增加的正弦曲线，并计算每个频率的输出幅度。但是有一个更简单的方法。我们借助z 变换和复指数将滤波器表示为传递函数。该ž -transform允许我们代表的延迟牛逼小号如ž -1。我们不写X i-1而写Xz −1. 上面的公式变为：

Y = a 0 X + a 1 Xz −1 + a 2 Xz −2 + ... + a d Xz −d + b 1 Yz −1 + b 2 Yz −2 + ... + b d Yz −d= ( a 0 + a 1 z −1 + a 2 z −2 + ... + a d z −d ) X + ( b 1 z −1 + b 2 z −2 + ... + b d z − d )是

并且从上面我们可以得到z域中递归滤波器的传递函数。Y/X = ( a 0 + a 1 z −1 + a 2 z −2 + ... + a d z −d ) / (1 − b 1 z −1 − b 2 z −2 − ... − b d z -d )我们现在注意到，因为z -1是T s的延迟，角频率ω 的正弦曲线乘以z -1的效果与ω T s的相位延迟相同。乘以z的效果与ω T s的相位超前相同。如果我们代表X与复指数ê jωt，相乘的效果X由ž相同乘以X由Ë jωT小号。我们让z = e jωT s 在上面的传递函数中得到滤波器的正弦增益。

Y/X = ( a 0 + a 1 e −jωT s + a 2 e −2jωT s + ... + a d e −djωT s ) / (1 − b 1 e −jωT s − b 2 e −2jωT s − ... − b d e −djωT s )

例如，考虑以下递归过滤器：Y i = 0.125 X i + 0.875 Y i-1使用z变换，该滤波器的传递函数为：Y/X = 0.125 / (1 - 0.875 z -1 )它在角频率 ω 处的正弦增益为：Y/X = 0.125 / (1 - 0.875 e −jωT s )

当 ω = 0 时，e −jωT s = 1 且滤波器增益为 1。当 ω = π/ T s 时，也就是说正弦波的频率是采样频率的一半，e −jωT s = -1滤波器增益为 0.067。当 ω = 2π/ T s 时，所以我们的正弦波与采样频率具有相同的频率，e −jωT s = 1 且增益为 1。通常，频率 ω < π/ T s处的增益与采样频率相同增益在频率 2π/ T s -ω。也就是说：正弦频率f < f s /2 处的增益与频率f处的增益相同s - f。因此，如果我们只考虑低于f s /2 的频率，我们的递归滤波器将提供低通频率响应。这种对低于采样频率一半的频率的限制适用于所有递归滤波器， f s /2 被称为奈奎斯特频率。

以下递归滤波器提供高通响应。Y i = 0.984375 X i − 0.984375 X i-1 + 0.96875 Y i-1如果我们将其传递函数乘以我们的低通滤波器的传递函数，我们将获得具有以下递归滤波器表示的带通滤波器传递函数。Y i = 0.123046875 X i − 0.123046875 X i-1 + 1.84375 Y i-1 − 0.84765625 Y i-1

低通滤波器中的常数是 1/8 的倍数。高通滤波器中的那些是 1/64 的倍数。带通滤波器中的那些是 1/512 的倍数。如果我们想要实现分数不超过 1/64 的带通滤波器，我们应该分两级而不是一级来实现。在我们的过滤器工具的递归表中，您可以通过将它们的常量输入到数组中来试验深度为 4 的递归过滤器。滤波器工具使用z = e jωT s替代来获得递归滤波器在各种频率下的增益，并绘制它们的频率响应，如下所示。

通过对常量进行小的更改，您将看到递归过滤器对精确值的敏感程度。对于深度为 2 的过滤器，常数需要校正到优于 1%，对于深度为 4 的过滤器，需要校正到 0.01%。

匹配网络

甲匹配网络是一个无源滤波器，其改变电源或负载的有效阻抗。我们可以使用变压器作为匹配网络。变压器的初级线圈和次级线圈都缠绕在同一磁芯上。假设次级侧的匝数是初级侧的N倍。我们向初级线圈施加幅度为V的正弦电压，并在次级线圈上观察幅度为NV。我们将电阻R 连接到次级线圈，并观察与次级电压同相流入电阻器的电流NV/R。同时，流入初级线圈的电流与施加的电压同相，幅值N 2V/R。流入初级线圈的功率为N 2 V/R × V = N 2 V 2 /R。从次级线圈流入电阻器的功率同样为N 2 V 2 /R。初级线圈电压源承受的负载为R/N 2，而不是R。

假设我们有一个射频电源，例如RFPA3800晶体管，该电源的幅度为 5 V rms，阻抗为 10 Ω。我们想要驱动阻抗为 50 Ω 的天线。如果我们将两者直接连接在一起，放大器可能会发生振荡。但假设放大器保持稳定。它产生 5 V rms，并通过其 10 Ω 输出阻抗并进入天线的 50 Ω 输入阻抗。天线将获得 350 mW 的射频功率。相反，如果我们将 50 Ω 天线连接到N = √(50/10) = 2.24的变压器的次级侧，则天线将在放大器上显示为 10 Ω 负载，并将接收 625 mW 的力量。初级线圈上的电压为 2.5 V rms，次级线圈上的电压为 5.6 V rms。

变压器可以在很宽的频率范围内匹配阻抗。所述ADT4-5WT从MiniCircuits操作形式0.3-500 MHz和具有阻抗匹配比4.0(匝数比2.0)。当我们在电路板上有空间放置变压器，并且我们想要电阻源和负载的宽带匹配时，变压器是一个不错的选择。

但并非所有负载和源都是纯电阻性的，我们有时希望我们的匹配网络仅在特定频率下有效。事实上，有时我们希望我们的匹配网络去除非常窄的频率范围之外的信号。有时，电容器和电感器可以执行极好的匹配和鉴别。我们将通过查看选择窄频带的无源电路来探索这些问题，然后转向另一个具有相同功能但同时具有放大和阻抗匹配的无源网络。下面的电路是来自我们的命令接收器 ( A3023CR )的电阻器调谐电路。甲罐电路是由电容器和电感器并联连接。在某些频率下，电感器阻抗的大小等于电容器的大小，但它们具有相反的相位。流出电感的电流流入电容器，反之亦然。槽上的电压不断增加，直到与施加到它的电压相匹配，这样就没有更多的电流可以加入电容器和电感器之间的交换。我们称之为条件共振. 电容和电感之间有大量电流流过，但从外面看，两者并联的阻抗似乎很大。事实上，对于完美的电感器和电容器，它们的并联阻抗在谐振频率处将是无穷大。

图：晶体二极管无线电电路。我们看到一个由电阻器R8制成的谐振器调谐器，与谐振电路串联。槽路电容为VC1与C14和C15并联。电感是L2。

该电路显示了天线的输入。我们的目的是用几圈不锈钢线来获得 146 MHz 的功率。电容器C20提供低频阻断。晶体二极管U10对射频具有 10 kΩ 的有效电阻(有关二极管的更多信息，请参见此处)。在谐振处，与VC1、C14和C15并联的L2的阻抗远超过 10 kΩ。电阻器R8和晶体二极管形成一个分压器，我们在二极管上得到 90% 的天线电压。二极管在C16上提供一个直流电压，随着射频功率的增加而增加，如下图所示. 在其他频率下，谐振电路的阻抗要低得多，因此会降低二极管上的信号幅度。以下曲线显示了当我们将槽路电容设置为 1.0 μF 并将电感设置为 1.0 μH 时电路的响应。我们期望在f = 1/(2 π √( LC )) = 8 MHz处发生共振，这就是我们得到的结果。

图： Tank Tuner 的响应。底部轨迹是我们应用于函数发生器的 TUNE 频率。屏幕中央的频率为 8 MHz。模糊轨迹是储能电路上的电压。峰值线是检测器二极管输出端的电压。

坦克调谐器提供了良好的频率选择。但其增益在所需频率下仅为 0.9。我们注意到检测器二极管的阻抗为 10 kΩ，而我们天线的电阻要小得多，这意味着天线中可用的功率多于传输到二极管的功率。我们估计小型钢制环形天线的源阻抗为 100 Ω 与 300 nH 串联。因为源阻抗比负载阻抗低一百倍，所以我们希望在将天线信号呈现给我们的检波二极管之前用匹配网络放大它。

我们下面展示的电路应该代表一个小环形天线、一个匹配网络和一个检测器二极管。电阻器R2是天线导线的电阻，由于趋肤效应，它在射频下很重要。电感L1是天线的自感。匹配的网络组件是C1、R3、L2和C2。检波二极管由R1表示，它是其在零偏置时的有效电阻。

图：天线匹配电路。

通过为该电路选择不同的值，我们不仅可以对天线和检测器二极管布置进行建模，还可以对许多其他匹配网络进行建模。我们过滤器工具中的匹配表绘制了网络对于任意值组合的频率响应。当R2 = 10 Ω 且R1 = 50 Ω 时，我们可以试验其他组件的各种值，看看我们是否可以将源与负载阻抗相匹配。当我们想忽略一个组件时，我们会为它选择一个大的或小的值，使其对活动的贡献可以忽略不计。因此，我们可以将L1设置为 0 nH 以将其排除，或将C1 设置为 10000 pF。

然而，现在让我们回到将环形天线信号与检波二极管相匹配的问题。让我们设置R3 = 0 Ω、C1 = 1 pF、C2 = 10 pF 和L2 = 100 nH。这种安排是一个spit-capacitor匹配网络。与电阻槽网络相比，它提供了显着提高的性能。我们在A3024A微型、微功率、无线电接收器中使用分离式电容器匹配网络。

在分裂电容器网络中，槽路以我们的工作频率谐振。油箱上的电压V T几乎与施加到C1上的电压同相通过天线。电容器两端的电压幅度几乎等于天线和槽路幅度之和。假设天线幅度为 100 mV，槽路幅度为 900 mV，小电容器的电抗为 1 kΩ。我们有 1.0 mA 电流流入电容器，如果我们将 10 倍大的电容器直接连接到天线产生的 100 mV，我们会看到相同的电流。因此，天线的有效电抗仅为 0.1 kΩ，而槽路电路的有效电抗为 0.9 kΩ。这个简单的考虑向我们展示了如何使用不起眼的电容器在特定频率下匹配两个不同的源阻抗和负载阻抗。

通过为电感插入j ω L和 1/ j ω C，我们可以计算上述电路的复数增益，其中 ω = 2π f是角频率，j是 √(−1)。我们得出以下解决方案。

图：天线匹配电路分析。

我们看到电路有四个谐振频率，对应于两个电感器和两个电容器的所有组合。当我们接近L2和C2的谐振时，增益增加。我们使用过滤工具匹配表中的上述公式计算增益，并在下面绘制各种组件值。

图：天线匹配增益，适用于各种配置，0-1000 MHz。我们绘制增益的绝对值。我们用来获得下表中给出的图的组件值。绘图 D 和 E 在 150 MHz 附近相互重叠。

下表给出了我们用来获取每个图的组件值。图E的值对应于我们原来的电阻槽电路。

表：上下图中使用的组件值。天线匹配电路图中给出的组件名称。

图D显示了如果我们将自感为 300 nH、电阻为 100 Ω 的天线与具有 4 pF 电容器的 10 kΩ 负载相匹配会发生什么。我们在 146 MHz 处获得了一个不错的增益峰值。我们的匹配网络仅包含一个组件：一个 4pF 电容器。通常，我们可以用单个电感器和电容器匹配任意两个源阻抗和负载阻抗。在这种情况下，我们使用天线自感作为匹配网络中的电感。但是当我们弯曲或处理它时，天线自感会发生 10% 左右的变化。曲线A显示了当天线电感改为 150 nH 且其电阻改为 50 Ω 时相同 4 pF 电容器匹配网络的响应。增益峰值移动到 200 MHz，我们的匹配在 146 MHz 不再有效。

图B和C显示了由分离电容器网络产生的增益。在这两种情况下，匹配电路组件是相同的，但我们将天线电感和电阻改变了两倍。增益峰值仅相差几兆赫兹。天线的变化对匹配网络的初级谐振影响很小。这种对天线特性的不敏感性使分离式电容器网络在实践中变得健壮和有效。在天线电感和匹配电容器之间也存在次级谐振。当我们改变天线电感时，这种共振就会移动。但这不是我们提供匹配增益所依赖的共振。

这是我们在 116-198 MHz 范围内扫描天线频率时实际分离电容器匹配电路的响应。我们有C1 = 1 pF、C2 = 8 pF、L2 = 100 nH 和R3 = 0 Ω。具有两个峰值的轨迹是我们检测器二极管的输出，因此与匹配网络的增益不成正比，但仍随增益而增加。第一个峰值对应于 146 MHz 时的增益 4.5，第二个峰值对应于 170 MHz 时的增益 2.5。我们看到我们的天线信号通过纯无源元件的作用被放大到我们的检测器二极管。

图：分裂电容器匹配网络的响应。我们有C1 = 1 pF、C2 = 8 pF、L2 = 100 nH 和R3 = 0 Ω。天线电感和电阻由实际天线提供。底部走线是检测器二极管的输出。顶部轨迹是 VCO 调谐电压，在 1 ms 内从 0-4 V 扫描。频率在 116-198 MHz 之间变化，在 1.25 V 时为 146 MHz。

当我们将这些组件值连同我们对天线电阻和电感的估计值插入我们的滤波器工具时，我们的计算表明第一个峰值应该在 160 MHz 处，增益为 4.6，第二个峰值应该在 310 MHz 处，增益为 0.9。因此，我们的计算捕捉了匹配网络行为的精神，但实际上印刷电路板的布局、单个组件的缺陷以及天线的不确定性要求我们在构建过程中选择调谐电容。匹配网络通常就是这种情况。如果我们想要通过无源网络获得如此壮观的性能，我们将不得不在构建时调整电路。

我们也可以在放大器的输出端使用匹配网络，以便将它们的输出阻抗与我们的负载阻抗匹配。在我们的命令发射器 ( A3029A ) 手册中，您会发现我们对放大器输入和输出反射系数的测量记录，以及正确匹配阻抗的后续计算，以提供有效的 50 Ω 功率传输负载。

脉冲整形器

当光电倍增管检测到亚原子粒子产生的闪光时，它会产生一个十或二十纳秒长的电压脉冲。该电压脉冲的面积与闪光的强度成正比。为了利用光电倍增管的输出，我们必须测量脉冲的面积。最简单的方法是以 1 GSPS 对脉冲进行数字化，从而获得 20 ns 脉冲的 20 个样本并在计算机中计算其面积。但是以 1 GSPS 采样是很难做到的，而且如果闪光很少，那就太浪费了。另一种方法是用晶体管和电容器对脉冲进行积分，当脉冲完成时将积分器的最终值数字化，然后重置积分以准备下一个脉冲。另一种方法，结果证明是简单性和采样率之间的良好折衷，是将脉冲整形为相同面积的较长脉冲，以慢得多的速度数字化，然后在计算机中进行计算。为此，我们需要一个脉冲整形器。

考虑沿 50Ω 传输线传播的脉冲。它通过脉冲整形器电路并沿另一条 50 Ω 传输线继续传输。脉冲整形器与两条传输线一起工作以延长原始脉冲。在下面的电路中，我们用R代表两条传输线的阻抗，因为每条线都像一个电阻器(参见传输线分析)。拉普拉斯变换是获得整形电路脉冲响应的最快方法，但我们使用微分方程和叠加原理推导出响应。我们首先获得整形器的阶跃响应。稍后，我们使用阶跃响应来获得脉冲响应。

我们有成形器在时间为零时对高度为X的步长的响应。但是现在我们注意到，这一步对时间的导数是区域X在时间零处的脉冲。整形器是一个线性系统，所以它对阶跃导数的响应将是它对阶跃响应的导数。

请注意，当我们对阶跃响应进行微分以获得脉冲响应时，没有X的导数的单位为 1/s。但是输入X是以 Vs 为单位的脉冲。当我们将导数乘以X 时，我们得到一个以 V 为单位的量。现在让我们对整形电路的响应进行积分，看看它是否保留了脉冲面积。

在没有整形器的情况下，由于两个电阻器R 构成的电阻分压器的作用，该区域也将是X /2 。整形器延长脉冲，但保留其面积。我们过滤器工具中的 Shaper 表允许您输入L、C和R 的值，以便获得面积为 1 V-ns 的脉冲的整形器的理论输出。我们为选择的值获得以下图。

图：计算出的各种组件值的整形器输出。在实际行告诉我们传递函数的根是否真实的或想象。

我们使用一个金属盒、两个 BNC 插座、一个线圈和一个 1nF 陶瓷电容器构建了以下整形器。

在将线圈安装到整形器中之前，我们使用电阻器和函数发生器测量线圈的电感。其电感约为 3 μH。电容为 1 nF。我们将 50 Ω 同轴电缆从输出连接到设置为 20 mV/div 和 20 ns/div 的 50 Ω 端接示波器输入。我们生成一个 20 ns 的脉冲并以相同的电压和时间尺度观察它。我们将脉冲传送到 ×5 放大器，然后传送到整形器，全部使用 50 Ω 同轴电缆。下图显示了放大器输入端的脉冲和整形器输出端的脉冲。

计算出的图C对应于我们的组件值 3 μH 和 1 nF，对于 1 V-ns 输入，它在 8 mV 处达到峰值。我们在示波器上看到的输入脉冲不是X，而是X /2。计算输入脉冲轨迹下的方块，我们估计它的面积是 1 V-ns，所以X的面积是 2 V-ns。我们预计y的峰值为16 mV。示波器上的输出脉冲为5 y，其峰值为80 mV，因此y为16 mV，与我们的计算非常吻合。我们制作了另一个带有 8μH 电感器和 2nF 电容器的整形器。

表面声波滤波器

甲SAW(表面声波)滤波器是压电晶体的制造出来的小，无源器件。大多数 SAW 滤波器是带通滤波器。八通道数据接收器A3027的解调放大器使用 915 MHz SAW 带通滤波器来抑制 930 MHz 至 970 MHz 频率范围之外的 RF 功率。我们在这里描述了我们第一次使用 SAW 滤波器。

取一块薄的矩形压电晶体。它的顶面是平的。晶体随着施加的电场而膨胀和收缩。如果我们敲击水晶，它会像水晶酒杯一样短时间颤抖，但频率太高，我们听不见。随着晶体颤抖，它会在其表面产生一个与颤抖频率和幅度相匹配的电压。如果我们在顶面和底面放置电极，当我们施加正确频率的正弦电压时，晶体就会共振。晶体振荡器使用这种共振来产生与晶体尺寸和平坦度一样精确的频率。

SAW 滤波器不使用晶体的体谐振。它使用表面声波。SAW 滤波器在晶体表面的一端有两个互锁的电极梳，而不是在晶体的相对面上的电极，另外两个这样的梳位于相反的一端，但在同一晶体表面上。我们将输入连接到这些梳子上，如下所示。

图：梳状电极和表面波传播。我们展示了一个俯视图，显示了互锁的梳子，以及一个侧视图，显示了沿晶体传播的表面波。我们将晶体的末端逐渐变细，以表明需要采取一些步骤来防止表面波从晶体的末端反射。

梳子沿着晶体表面建立电场，而不是在晶体内部。电场使晶体表面膨胀和收缩。如果我们在正确频率的输入电极上施加一个正弦电压，我们将产生一个表面波，它在晶体上传播，在那里它在输出电极上产生一个电压，输出电极也是互锁梳。您可以看到，只有在每个梳齿之间具有整数波长的频率才会在它们穿过梳齿传播时得到增强。结果是一个滤波器：只有与两端梳子匹配的频率才会从电信号转换为表面波信号，然后再转换回电信号。

波沿晶体表面传播的速度由晶体的杨氏模量决定，压电晶体的速度约为 4000 m/s。以这种速度传播的 950 MHz 波的波长仅为 4.2 μm。在如此高的频率下，SAW 滤波器倾向于使用其梳状基波谐振频率的谐波。为此，他们从为所需带通频率的整数部分设计的梳子开始，然后在梳齿中插入切口，使梳子在基频上效率低下，但在所需带通频率上却有效。

让我们将DSF947.5 SAW 滤波器的频率响应与多项式滤波器的频率响应进行比较。

如果我们假设 SAW 滤波器是通带低端的高通滤波器和高端的低通滤波器的组合，那么我们可以将其在高端的响应与多项式低通滤波器。我们看到，在截止频率的 10 MHz 内，SAW 滤波器的虚拟低通滤波器响应下降了 30 dB。假设我们要尝试构建一个具有相同响应的多项式低通滤波器。十极点 3dB 纹波切比雪夫滤波器响应在频率变化 10% 后下降 30dB。换句话说，其通带两端的 SAW 滤波器截止频率是十极点 3-dB 纹波切比雪夫滤波器的十倍。表面声波滤波器每个成本约为 3 美元，采用 3 平方毫米封装。

传输线

传输线是用于将电信号从一个地方传输到另一个地方的电缆。我们通常不认为传输线是滤波器，但它们确实提供了一些类似滤波器的功能，而且它们的行为很有趣。我们有一个专门介绍传输线的单独网页，传输线分析。有限长度的不完美端接的传输线，称为传输线短截线，可用于创建阻抗以将源与负载匹配，代替我们在传输中讨论的电容器、电感器和电阻器网络我们传输线路页面的线路存根部分。

元件精度

我们用 100μH 电感器和 100pF 电容器组装以下电路。

我们为电阻器R尝试不同的值。下面的示波器屏幕截图显示了电路对 50 kHz 至 5 MHz 频率对数扫描的响应。

图：不同R值的频率响应。每个的左边缘是 50 kHz，=center 是 500 kHz，右边缘是 5 MHz。垂直刻度为 1 V/div。输入是幅度为 4 Vpp 的正弦曲线。对于 2.2 kΩ，请参见此处。

我们的滤波器对 820 Ω 的响应看起来像最大平坦的巴特沃斯响应。假设这是我们的理想情况，我们希望在数百个电路上重现滤波器，而无需调整每个电路的组件。电阻的 ± 10% 变化不会对响应产生显着差异。我们可以使用标准的 5% 电阻器。该电路对L和C的值更不敏感。该电路中L或C变化 20%与R变化 10% 具有相同的效果. 我们可以使用标准精度为 20% 的电容器和电感器。然而，当我们增加滤波器中的极点数时，我们对组件的要求精度就会提高。当我们将四极无源低通滤波器中的单个电容器更改 20% 时，其通带中某处的增益将更改 3 dB。如果我们希望四极无源滤波器的精度优于 ±1 dB，我们需要使用 5% 的电容器和电感器。八极无源滤波器滤波器要求电容器和电感器的精度为 2%，电阻器的精度为 1%。准确度为 2% 的电容器的成本是准确度为 20% 的电容器的十倍。

有源滤波器对电容器的要求更为严格：极点的位置随电容值而不是电容的平方根而变化。然而，高阶有源巴特沃斯滤波器仍然实用：有源巴特沃斯滤波器的RC值对于每一级都是相同的。我们可以使用电阻器和电容器阵列来实现RC值，我们将确保RC的值将在彼此的 1% 以内。即使电容阵列电阻的绝对精度只有5%，我们发现阵列内的变化也小于绝对精度的十分之一。我们发现在一卷表面贴装电阻器或电容器中存在相同的相对精度效应，因此 5% 电阻器的卷轴的相对精度将降低 0.5%，而 20% 电容器的卷轴的相对精度将为 2%。(在我们提出此声明之前，我们测量了几个卷轴中每个卷轴的 20 个电阻器和电容器。)同一卷轴内表面贴装部件的相对精度使有源滤波器电路比其他情况更实用。

如果我们的有源滤波器的截止频率因组件变化而移动 ±5%，这几乎无关紧要。更重要的是滤波器极点的相对位置保持准确，以便极点协同工作以提供正确的滤波器形状。元件值的 5% 变化可以重新排列巴特沃斯滤波器的极点，从而在通带中引入 5 dB 纹波。但是，我们可以通过使用一组电阻器和电容器来确定每个级中 R 和 C 的公共值，并在分压器中使用 1% 的电阻器来确定每个级的增益，从而构建具有平坦响应的巴特沃斯滤波器。

Chebyshev 滤波器的情况并非如此，其中每个阶段都有不同的RC值。但是我们还是可以用一排电容，让所有的电容都在1%以内，然后再用1%的电阻，这些都是免费的，价格也不贵。下图显示了一个三极点 3-dB 纹波切比雪夫低通滤波器的响应如何从一个组装电路变化到另一个

图：组装滤波器的测量响应。它们由 5% 的相同值的电容器制成，取自相同的卷轴，以及 1% 的不同值的电阻器。

整个滤波器由三极 160 Hz 低通响应加上单极 1.7 Hz 高通响应组成。在低通滤波器中，我们对所有电路使用取自同一卷轴的只有一个值 1 nF 的 5% 准确电容器。低通滤波器电阻器的精度为 1%。每个阻值电阻都来自同一个卷轴，但滤波器中有多个阻值。从 10 Hz 到 200 Hz 的响应变化为 ±0.7 dB。每个滤波器的截止频率在设计值的几赫兹以内。高通滤波器由一个 5% 的电阻器和一个 10% 的电容器组成。它从 1 Hz 到 3 Hz 的响应变化为 ±1.5 dB。通过使用取自同一卷轴的电容器，并依靠精密电阻器，我们能够生产出一个滤波器，其增益已知在其通带内 0.7 dB 以内，并在 3% 以内的频率上产生显着的截止频率。

审核编辑：汤梓红