介绍一种基于最小化平方误差的聚类算法

物以类聚， 「聚类算法」 使用最优化的算法来计算数据点之间的距离，并将它们分组到最近的簇中。

Scipy的聚类模块中，进一步分为两个聚类子模块：

1. vq（vector quantization）：提供了一种基于向量量化的聚类算法。

「vq模块」 支持多种向量量化算法，包括K-means、GMM（高斯混合模型）和WAVG（均匀分布）。

2. hierarchy：提供了一种基于层次聚类的聚类算法。

「hierarchy模块」 支持多种层次聚类算法，包括ward、elbow和centroid。

总之，Scipy中的vq和hierarchy模块都提供了一种基于最小化平方误差的聚类算法，
它们可以帮助我们快速地对大型数据集进行分组，从而更好地理解数据的分布和模式。

1. vq 聚类

vq聚类算法的原理是将数据点映射到一组称为“超空间”的低维向量空间中，然后将它们分组到最近的簇中。

首先，我们创建一些测试数据：（创建3个类别的测试数据）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data1 = np.random.randint(0, 30, (100, 3))
data2 = np.random.randint(30, 60, (100, 3))
data3 = np.random.randint(60, 100, (100, 3))

data = np.concatenate([data1, data2, data3])

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2])
plt.show()

data1，data2，data3分布在3个区域，
每个数据集有 「100条」 数据，每条数据有 「3个属性」 。

1.1. 白化数据

「聚类」 之前，一般会对数据进行 「白化」 ，所谓 「白化数据」 ，是指将数据集中的每个特征或每个样本的值都统一为同一个范围。
这样做的目的是为了消除特征之间的量纲和数值大小差异，使得不同特征具有相似的重要性，从而更容易进行聚类算法。

在聚类之前对数据进行 「白化处理」 也被称为 「预处理」 阶段。

from scipy.cluster.vq import whiten

# 白化数据
normal_data = whiten(data)

# 绘制白化后的数据
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.scatter(normal_data[:, 0], normal_data[:, 1], normal_data[:, 2])
plt.show()

从图中可以看出，数据的分布情况没有改变，只是数据的范围从0~100变成0.0~3.5。
这就是白化的效果。

1.2. K-means

白化之后，就可以用K-meas方法来进行聚类运算了。
scipy的vq模块中有2个聚类函数：kmeans和kmeans2。

kmeans函数最少只要传入两个 「参数」 即可：

1. 需要聚类的数据，也就是上一步白化的数据
2. 聚类的数目

「返回值」 有2部分：

1. 各个聚类的中心点
2. 各个点距离聚类中心点的欧式距离的平均值

from scipy.cluster.vq import kmeans 

center_points, distortion = kmeans(normal_data, 3)
print(center_points)
print(distortion)
# 运行结果
[[1.632802   1.56429847 1.51635413]
 [0.48357948 0.55988559 0.48842058]
 [2.81305235 2.84443275 2.78072325]]
0.5675874109728244

把三个聚类点绘制在图中来看更加清楚：

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
ax.scatter(normal_data[:, 0], 
           normal_data[:, 1], 
           normal_data[:, 2])
ax.scatter(
    center_points[:, 0],
    center_points[:, 1],
    center_points[:, 2],
    color="r",
    marker="^",
    linewidths=5,
)

plt.show()

图中3个红色的点就是聚类的中心点。

1.3. K-means2

kmeans2函数使用起来和kmeans类似，但是返回值有区别，
kmeans2的返回的是：

1. 聚类的中心点坐标
2. 每个聚类中所有点的索引

from scipy.cluster.vq import kmeans2

center_points, labels = kmeans2(normal_data, 3)
print(center_points)
print(labels)
# 运行结果
[[2.81305235 2.84443275 2.78072325]
 [1.632802   1.56429847 1.51635413]
 [0.48357948 0.55988559 0.48842058]]
[2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 ... ...
 0 0 0 0]

可以看出，计算出的聚类中心点center_points和kmeans一样（只是顺序不一样），
labels有0,1,2三种值，代表normal_data中每个点属于哪个分类。

kmeans2除了返回了聚类中心点，还有每个数据点属于哪个聚类的信息，
所以我们绘图时，可以将属于不同聚类的点标记不同的颜色。

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={"projection": "3d"})
arr_data = [[], [], []]
for idx, nd in enumerate(normal_data):
    arr_data[labels[idx]].append(nd)

data = np.array(arr_data[0])
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2], color='lightblue')
data = np.array(arr_data[1])
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2], color='lightgreen')
data = np.array(arr_data[2])
ax.scatter(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2], color='lightyellow')

ax.scatter(
    center_points[:, 0],
    center_points[:, 1],
    center_points[:, 2],
    color="r",
    marker="^",
    linewidths=5,
)

plt.show()

2. hierarchy 聚类

hierarchy聚类算法的步骤比较简单：

1. 将每个样本视为一个簇
2. 计算各个簇之间的距离，将距离最近的两个簇合并为一个簇
3. 重复第二个步骤，直至到最后一个簇

from scipy.cluster.hierarchy import ward, fcluster, dendrogram
from scipy.spatial.distance import pdist

# 计算样本数据之间的距离
# normal_data是之前白化之后的数据
dist = pdist(normal_data)

# 在距离上创建Ward连接矩阵
Z = ward(dist)

# 层次聚类之后的平面聚类
S = fcluster(Z, t=0.9, criterion='distance')
print(S)
# 运行结果
[20 26 23 18 18 22 18 28 21 22 28 26 27 27 20 17 23 20 26 23 17 25 20 22
 ... ...
  5 13  3  4  2  9  9 13 13  8 11  6]

返回的S中有 「300个数据」 ，和normal_data中的数据一样多，S中数值接近的点，分类越接近。

从数值看聚类结果不那么明显，scipy的层次聚类提供了一个dendrogram方法，内置了matpltlib的功能，
可以把层次聚类的结果用图形展示出来。

P = dendrogram(Z, no_labels=True)
plt.show()

从这个图可以看出每个数据分别属于哪个层次的聚类。
最底层的叶子节点就是normal_data中的各个数据，这些数据的索引信息可以从 P 中获取。

# P是一个字典，包含聚类之后的信息
# key=ivl 是图中最底层叶子节点在 normal_data 中的索引
print(P["ivl"])
# 运行结果
['236', '269', '244', ... ... '181', '175', '156', '157']

3. 总结

聚类分析可以帮助我们发现数据集中的内在结构、模式和相似性，从而更好地理解数据。
使用Scipy库，可以帮助我们高效的完成数据的聚类分析，而不用去具体了解聚类分析算法的实现方式。