BUCK电路中电感伏秒平衡的表达式推导

本文通过BUCK电路中功率电感在TON和TOFF两个阶段的公式，推导出电感伏秒平衡的表达式。

当开关工作在固定的开关频率时，占空比D也保持恒定，电流波形和电压波形在每个周期都是重复的或者周期性的（假如周期为T），即 i((n+1)T) = i(nT) 和 v((n+1)T) = v(nT) ，这样的状态就称为稳态。

开关电源工作在稳态时，功率电感器和输出电容器这两个元件对应着两个非常重要的原理，即电感伏秒平衡（Inductor Volt-Second Balance）和电容电荷平衡（Capacitor Charge Balance），这通常被用于分析开关电源的稳态工作过程。

图 3.1 非同步降压电路的导通和关断状态

电感器的伏秒平衡原理有以下三种表述方式：

表述一：开关电源稳态工作时，开关管导通阶段（即电感电流上升阶段）的伏秒积，与开关管关断阶段（即电感电流下降阶段）的伏秒积相等（但符号相反）。

表述二：开关电源稳态工作时，任何开关周期内，电感电压曲线的净面积必然为零。

表述三：开关电源稳态工作时，任何开关周期内，电感电压的平均值（电感电压的直流分量）为零。

表述四：使用公式可表示为

图 3.2 降压电路CCM模式的电感电流增量等于减量

1. TON开关管导通阶段

图 3.1所示，以降压电路为例，在开关管导通期间t_ON，电感上的电流是逐渐增大的（电感上的储能是逐渐增加的，能量临时存储在功率电感中），所以电感上的感应电压 V_(L,ON) 与电流的方向是相反的（即电感阻止电流增大）。

在TON阶段，根据电感公式 V=L×di/dt=L×∆I/∆T ，可得电流增量为

根据基尔霍夫电压定律（Kirchhoff Voltage Laws, KVL），在任何闭合回路中，所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零，我们容易得到

所以，TON阶段电感上的（感应）电压为

其中：V_IN 是输入电压，V_(DS(ON)-H) 是开关管上的压降（流过的电流与 R_(DS(ON)) 的乘积），V_DCR 是电感上的压降（流过的电流与电感直流电阻 R_DC 的乘积），V_OUT 是输出电压。

在忽略 V_(DS(ON)-H) 、V_DCR 两个参数的情况下，TON阶段电感上的（感应）电压为

所以，在TON阶段，电感电流增量又可以表示为

或

2. TOFF开关管关断阶段

在开关管关断期间，电感上的电流是逐渐减小的（电感上的储能是逐渐减小的，临时储存的能量开始往负载端传递），所以电感上的感应电压 V_(L,OFF) 与电流的方向是相同的（即电感阻止电流减小）。

在TOFF阶段，根据电感公式 V=L×di/dt=L×∆I/∆T （不考虑到电流与感应电压的方向），可得电流减量为

根据KVL定律，我们容易得到（考虑到电流是减小的，感应电压为负）：

所以，TOFF阶段电感上的（感应）电压为

其中：V_DCR 是电感上的压降（流过的电流与电感直流电阻 R_DC 的乘积），V_D 是续流二极管正向导通压降。

在忽略功率电感直流电阻压降 V_DCR 、续流二极管正向导通压降 V_D 两个参数的情况下，TOFF阶段电感上的（感应）电压为

所以，在TOFF阶段，电感电流减量又可以表示为

或

3.电感纹波电流每周期归零

在三种电路拓扑（降压电路，升压电路和降升压电路）中，稳态时电感上的纹波电流每周期归零，开关管导通期间的增量 ∆I_(L,ON)（由输入电容放电导致），等于开关管关断期间的减量 ∆I_(L,OFF)（由输出电容充电导致），等于电感上的纹波电流 ∆I_L，即

将公式(3.13)和公式(3.19)代入公式(3.25)，并消去感值 L 得到

电感电压与作用时间的乘积就是“伏秒积”。 公式(3.26)表明，开关管导通阶段（即电感电流上升阶段）的伏秒积，与开关管关断阶段（即电感电流下降阶段）的伏秒积相等（但符号相反），这就是基于电感电压 V_(L,ON) 和 V_(L,OFF) 的“伏秒定律（表述一）”的公式化表述。

如果将公式(3.15)和公式(3.21)代入公式(3.26)，可得：

如果将公式(3.16)和公式(3.22)代入公式(3.26)，可得：

这是基于输入电压 V_IN 和输出电压 V_OUT 的“伏秒定律”的公式化表述。