高斯如何得到他理论的结果?聊聊高斯概率分布的数学公式

作者：John Dunn（EDN专栏作者） 编译：Anthea Chuang，EDN Taiwan 责编：Luffy Liu 本文来源EDN电子技术设计

本文作者从他所知的高斯概率分布数学公式做出精彩的分析，最后导引到作为数学新手所经历的问题…许多人都是被教导如何使用数学大师们的努力成果，但是高斯如何得到他理论的结果?甚至其他大师们又是如何推论出伟大的定理?

这个模拟世界中的各种物理过程都表现出一定程度的随机性，例如，请想想噪声。高斯概率分布(Gaussian probability distributions)描述了许多噪声过程，我们应该看看它的数学公式。

从一个非常简单的公式开始，考虑高斯概率分布的“钟形曲线(bell curve)”公式：

   

无需绘制图片，我们知道公式1所描述的曲线在x值为零时具有y值，并且我们进一步知道随着x值朝向任一值，y值都变为零，负无穷大或正无穷大。

 

接下来，依照上面的公式添加“零”和数字“ 1”，这实际上并没有改变任何内容，但是会引导我们进行下一步。下面的公式3引入了平均值和标准偏差。

 

本文的“平均值”是一个新的中心值，围绕它的x值更改将影响y值。现在，当x值等于平均值时，y值将变为1，其中平均值可以为零，也可以为任何非零值。“标准偏差(standard deviation)”将影响随着x值偏离均值，y值向零下降的速度有多快。

标准偏差的较大值将要求x值与平均值相差很大，从而明显降低y值。另一方面，当标准偏差较小时，x值与均值的微小偏差将使y值更快地变为零。

现在，绘制几张图片，以图形方式查看均值和标准偏差如何完成各自的工作(图1)。



图1 显示平均值和标准偏差的影响。

接下来，透过标准偏差的倒数来缩放y值。请不要担心为何我们要这样做，请继续往下看。

 

如果再仔细看一下图片，会看到标准偏差的附加影响(图2)。



图2 显示标准偏差的附加影响。

接下来，输入另一个比例因子，即2 *π的平方根的倒数。再度呼吁，不用担心为什么，只要继续看下去。

 

现在，导入一个称为“方差(variance)”的新术语。方差只是标准偏差的平方。可以将公式重写为：

 

至此，我们已经完成了。如图2所示，如果针对从负无穷大到正无穷大的x值范围内的y值整合这最后两个公式中的任何一个并进行积分，则曲线下的面积等于1或等于1。使用我们进行的看似任意缩放，最后两个公式中的任何一个将产生一个积分结果。

无论你选择的是平均值、标准偏差还是方差，积分总是为1，这就是高斯概率分布，可以随意选择。

现在，我想谈谈作为数学新手所经历的一个问题。我试着理解卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)等如此伟大大师的作品。然而高斯工作时，纯粹是行动上的智慧。

他推断出上述公式中需要2 *π的平方根，但是高斯如何得出他的结果?我从未见过任何关于这方面的解释，也从未见过关于罗必达(l’Hospital)如何得出他寻找极限规则的任何解释，也没有见过关于帕普斯(Pappus)理论中寻找环形物体积或其他定理的任何解释。我只是被教导了这些天才努力的最终结果，以及如何应用其结果，仅此而已。 不知何故，由于缺乏更深层的解释，因此我觉得被哄骗。




审核编辑：刘清