均值与方差的测量

我们的感知就是测量。人通过视觉、听觉、嗅觉、味觉乃至直觉感知这个世界的酸甜苦辣和世间冷暖。

测量是一种量化的感知，也经常引申到度量，乃至测度。测量所用的方法、获得数据的数量乃至分析方法构成现代工业产品系统中感知、决策、执行三大行为中的一环。比如自动驾驶系统中车辆的行驶行为与常规车辆区别不大，但是基于毫米波雷达、光学摄像头乃至激光雷达等对于周围环境的测量及判别是ADAS系统中最困难的一环。

从高中物理试验开始，到大学的各种科研进行的试验，有一个经常使用的隐含规则：每组数据测量三次。小编突然发现好像似乎莫非这里面有一个挺有意思的问题，隐隐约约有一种科学发现的赶脚和三顿没吃遇到猪脚饭的冲动。

为了简化问题，首先把测量分为：待测对象和测量系统（当然我先找出了高中的概率论，毕竟算错的话得有个责任方）。方便讨论就分别假设为电热水器和温度计。

由于电热水器和温度计由独立厂家生产，再假设为质量稳定的产品。那么什么叫质量稳定产品呢？就是对于一个预设温度（称为真值TT），比如100摄氏度，电热水器完成加热后实际的温度值为以真值为均值μ=TT，σ为方差的高斯分布。

简单理解为如果热水器做足够多次同样预设温度的加热，则所有加热的均值为预设真值。

同样对于热水器单次加热结果的的温度测量，如果温度计做足够多次测量，则测量均值为当时的加热真值Tr，当然此真值并非为预设真值TT。

Tr（热水器）服从

类似 Tw（温度计）服从

整理一下。实际上有两个温度值：热水器加热的温度值，温度计测量的温度值。这两个温度值在热水器不同次的加热中，和同一次加热的不同次测量中都各不相同。

为方便理解再次简化：

Tr（热水器）只有三个离散值（Tr1=TT-σ1，Tr2=TT，Tr3=TT+σ1），

Tw（温度计）也只有三个离散值（Tw1=Tr-σ2，Tw2=Tr，Tw=Tr+σ2），

同时再次简化假设，Tr与Tw三个离散值出现的概率都为（20%，60%，20%）

现在的问题是对于预设温度TT=100℃，如果进行三次试验，每次使用温度计测量三次，我们获得的温度值等于预设值TT的概率是多少？

首先考虑Tw测量获得Tr的概率，问题简化为对于下述样本的独立抽样：

Tw1， Tw2，Tw2，Tw2，Tw3

A：三次均为Tw2的概率，0.6*0.6*0.6=0.216

B：一次Tw1，一次Tw2，一次Tw3，0.2*0.6*0.2=0.24

C：总概率=0.456

这里面有个反直觉的情况，就是如果测量次数增加，A情况的概率是减少的，怎么理解？其实很容易理解，测量误差取决于方差。所以实际上随着测量次数增加B（以及其他更多的概率组合）情况概率增加，A情况概率减少，获得真值的概率最终接近于0.6。

同理如果热水器只开启三次（做三次加热），则加热数值为预设真值的概率也为0.456。

所以实际上结论有点出乎意料对于如此简易的系统来说，进行3次试验，总共9次测量，则测量均值为真实预设值TT的概率为0.456*0.456=0.2079，大概21%。

如果试验次数继续增加到一个较多的次数比如50次，单次试验测量次数也增加到较多的次数比如20次，那么测量获得真实温度预设值TT的概率最终趋近于36%。

这个结论是高度反直觉的。

那么应该怎么去理解这个问题？其实结论非常简单，高品质系统需要控制的是方差的大小，就是质量体系中的西格玛概念。将单个方差（西格玛）控制到足够小，那么即便获得真值的概率永远只和分布与测量次数有关，但是总体和真值的误差是非常小的。

概率计算给我们的建议：你以为你测量的是均值，实际上你测量的是方差。

世界真奇妙，一测吓一跳。

审核编辑：刘清