深度解读硬件加法器、触发器、锁存器

我们都知道，「通电」代表「真」，用逻辑1表示；「不通电」代表「假」，用逻辑0表示。「与门」电路是用晶体管搭建的，符号长这样：

A与B的通断，可以决定Y点是否通电。

我们还为A、B与Y之间的关系画了一张表（真值表）：

接着我们设计出了简单的「或门」「非门」，用它们可以搭建各式各样其他的门电路。

这篇文章讲一下，怎么利用基础门电路进行加法计算。

二进制加法

我已经忘了是什么时候学的加法了，应该是小学吧，先学10以内的，再学100以内的，然后不管多大的数都可以随便加了，算式很简单，就是逢10进1。

下面这个式子是一个万以内的加法：

相应的，二进制就是逢2进1，下面这个式子是2个8位二进制数的加法计算：

半加器

8位二进制数还太复杂，我们先来看看1位二进制数怎么计算的，一共有以下4种情况：

观察一下就能发现2个规律。

第一个规律，只考虑加法，不考虑进位时，加数与和之间的关系如下：

相同为0，不同为1。这个关系和「异或门」是相同的：

异或门我们之前没有聊到过，电路图长这样：

第二个规律是，如果只考虑进位，不考虑加法，加数与进位之间的关系如下：

只有全1时，才为1。发现了吗，这和本文开头与门的真值表是一样的。

2个一位二进制数相加将产生一个加法位和一个进位位，加法位输入与输出的关系跟与门是一样的，进位位跟异或门相同。

所以，可以像这样把两个门电路连起来，计算2个二进制数（A和B）的和：

我们称这个电路为「半加器」，因为它只能计算2个一位二进制数的加法，没有办法将前面加法可能产生的进位纳入下一次计算中，如果有进位则实际上是需要3个加数参与计算。

用门电路画太复杂，可以封装起来这样表示半加器：

全加器

怎样计算3个加数的二进制加法呢？需要将2个半加器和一个或门如图连接起来：

左边能看到它有3个输入，右边依旧是1位加和输出，1位进位输出。

2个数的加和与上一次的进位相加，得出的加和作为3个数最终的加和；2个数相加或3个数相加的进位作为3个数加和最终的进位位。

用文字描述有点不好理解，把这个电路图全部输入和输出情况都展示出来，画一个表就明白了：

很明显，这个表就是2个一位二进制数带进位的全部状态。

每次做加法时画2个半加器和一个或门很麻烦，我们用下面这个图示把它们封装起来，这个能计算3位二进制数加法的电路就称为「全加器」。

加法器

现在回到开头那个二进制加法：

它有8个二进制位，到目前为止我们还只能计算2个一位二进制数，最多再增加一个进位的加法，我们最终的目标当然是2个8位、16位乃至32位数的加法。

其实，非常简单，用8个全加器一块算！

把8个全加器每个进位输出作为下一个的进位输入，首尾相连就可以啦！

每次这样画太麻烦，可以封装成一个框图：

大箭头代表8个输入/输出端，有8个独立的信号。

一旦我们拥有了8位二进制加法器，把它们级联起来，很容易就能得到一个16位或32位的加法器啦。

加法计算是计算机的基本运算，其实，计算机唯一的工作就是做加法计算。不论是减法、乘法、除法、在线支付、火箭升空还是AI下棋，都是利用加法实现的。

把加减乘除和逻辑运算等运算单元集成起来，就组成了CPU中的基本计算单元：ALU（算术逻辑单元Arithmetic and Logic Unit）。

用加法器计算2个数的加法其实就是用硬件方式实现了一个加法计算器，输入A和输入B的高低电平决定了输出S和CO的高低电平。

这样的电路同一时刻只能表示一种状态，只要改变了A、B中任意一位，输出就会有所变化。

现在我们想计算更多二进制数的加法，比如5个数A、B、C、D、E的加法（先不考虑进位）。

步骤应该是这样：首先把A、B作为输入，得出一个输出S1，我们要记下来S1的值，然后把S1和C作为输入，得出S2.。。。以此类推，要记下很多个数，然后再用加法器计算。

5个数都已经很麻烦了，如果要计算更多个数该怎么办？能不能把每次计算完的结果存起来，下次继续使用呢？

我们的需求

这个加法器有个特点，就是两个加数A和B的值决定着加和S的值。

这个值是实时决定的，也就是说，A、B中只要有一个数据位发生了改变（0变1或1变0），加和就一定、立即发生改变。

我们如果想用这个加法器算「累加和」将会很麻烦，比如5个数A、B、C、D、E的加法。

首先把A、B作为输入，得出一个输出S1，我们要记下来S1的值，然后把S1和C作为输入，得出S2.。。。以此类推，要记下很多个数，然后再用加法器计算。

工程师怎么会做这种无脑循环的工作呢，得想办法交给计算机寄几做。

好像只要做一个什么器件连在这个加法器的输出上，这个新器件能够保存加法器输出的和，并将算好的和再作为一个参数输入，传递给加法器就可以了。

注意这个新器件，首先它支持输入和输出；其次它能「保存」当前的值；最后，有一个类似「开关」的引脚决定它是否保持当前的值。

「保存」是什么意思？其实很好理解，就是不论输入的数据位怎么变化，输出都不变。

不考虑8个数据位，先只搭建一个这样具有「保存」功能的门电路，能保存一个bit就ok。

或非门点灯

科岩已经点灯无数，这次依然从点灯开始，用或非门试一下。

「或非门」的真值关系如下表，记住输入只要有1，输出一定为0就可以了。

或非门的符号：

按照下面这个电路把两个或非门与一个小灯泡连起来，如图：

仔细观察，能发现我把右边或非门的输出直接作为输入连接到左边或非门上，这会产生什么神奇的现象呢？

如上图，最开始，左边或非门的输入都是0，输出为1；右边或非门输入一个是0，一个是1，输出0，灯泡是不亮的。

现在把开关S1连通，连通瞬间，左边或非门输出0，右边或非门输出1，灯泡被点亮，然后右边或非门输出的1给到左边或非门，2个输入都是1，它的输出为0保持不变，灯泡点亮不变。

接着我们把开关S1断开，如下图神奇的事情发生了，灯泡依然保持点亮状态！因为左边或非门仍有一个输入是1。

如果把S2闭合会怎样呢？灯泡马上熄灭了。

这时再打开S2，电路回到最初的状态，灯泡还是熄灭状态。

可以总结规律了：

•导通S1，灯泡点亮，不论我们怎么控制S1，灯泡都是亮的

•导通S2，灯泡熄灭，不论我们怎么控制S2，灯泡都是亮的

这不就达到我们想要的「保存」功能了嘛，不论输入的数据位怎么变化，输出都不变。

触发器（Flip-Flop）

像上面把两个或非门连起来，能够稳定保存电路状态的电路被称为「触发器」。

Flip-Flop的意思是「翻转」，中文翻译比较奇怪，我们通常理解的触发器是Trigger，不过没关系，其实就是个名称而已。

上面这个触发器叫做R-S触发器，它有2个输入端S（Set）和R（Reset），2个输出端Q和~Q（实在打不出Q上面的横线o（╥﹏╥）o）。

当S为1时，输出Q为1，~Q为0；当R为1时，输出Q为0，~Q为1；当S和R都为0时，输出Q和~Q保持不变；当S和R都为1时是一个不正确的状态，我们不使用这个状态。

不是特别绕吧？画个表：

R-S触发器最大特点就是它能记住2个输入端的状态。想要记住上一次的状态时，把2个输入端都置0就可以了。

每次画2个或非门太麻烦，封装一下：

有了触发器，计算机除了算些加减乘除、与或非逻辑运算，开始具备了存储功能，我觉得触发器真是一个神奇的存在，把平平无奇的门电路连起来竟然就赋予了计算机「记忆」。

计算机中寄存器（Register）、内存（RAM）最最基础的组成单元就是触发器。

理解了触发器的工作原理，也就理解了内存的工作原理。

「触发器」的电路实现，最后画出了一个R-S触发器的框图，它有2个输入端，2个输出端：

R-S触发器最大特点就是它能记住2个输入端的状态。想要记住上一次的状态时，把2个输入端都置0就可以了。

还记得上篇文章中我们提出的那个需求吗，做一个什么器件连在加法器的输出上，这个器件能够保存加法器输出的8位数的和，并将算好的和再作为一个参数输入传递给加法器，从而实现一个累加器。

R-S触发器只能记住1位数据的状态，怎样能记住8位呢，这篇就来讲讲。

D触发器

1个R-S触发器能存1位数据，所以需要8个R-S触发器；1个R-S触发器，有2个输入端2个输出端，8个就是16个输入端，16个输出端。

而我们需要的是一个8输入、8输出的器件，我们得想办法简化R-S触发器。

观察一下R-S触发器，虽然有2个数据输入端和2个数据输出端，但实际上它只能保存1种状态，即保存1个bit数据位，因为Q和Q`的状态一定是相反的。

要保存数据时，需要把2个数据输入端都置成低电平。

这有点麻烦，因为要同时控制两个端；又有点浪费，明明只能存一位数据却用了2根线；还有点耦合，因为数据输入端也有控制作用，同时也是控制端，没区分开。

能不能把数据和控制分开，并且输入和输出只用一个数据端？

我们试着增加一个具有控制功能的「保持位」，它能决定电路当前的状态是否被「记住」。

当「保持位」为1时，数据输入的值就会被电路记住，当保持位为0时，数据输入位的任何值都不会影响电路的状态。

先画一下这个理想电路的真值表：

试着用R-S触发器搭建和这个表对应的电路：

这个电路实现了我们要的保持位的效果，保持为为1时，电路状态与R-S触发器相同；保持位置0时，相当于S和R为0，电路保存当前状态。

可这样又增加了一条线，能不能用一根线替换掉S和R这两根输入端呢？可以注意到，R与S的状态是相反的，所以很简单，用一个非门就可以了。

如上图，当保持位为1时，输出Q端与数据端相同；当保持位为0时，数据端怎么改变都不会影响电路状态，即电路会记住保持位最后一次置1时数据端的值，是不是很简洁很舒服。

上面这个电路被称为电平触发的D（Data）型触发器。

锁存器

通常，保持位需要不断的在0和1之间有规律的按一定频率变化，这就像钟表一样，滴答滴答，永不知疲倦。所以我们给保持位换一个称呼：时钟（clock）。

这样用时钟控制的D触发器也称作「锁存器」，因为存储进去的数据就好像被锁住了一样。

把8个锁存器的时钟端接在一起，引出输入端D和输出端Q，就构成了一个8位的锁存器：

这个锁存器可以一次保存一个字节（8位数），把这个框图封装一下：

这个8位锁存器就是我们需要的那个新器件啦，把它和8位加法器相连，就能得到一个累加器：

来模拟一下它的运转过程。

最开始，输入A为0，锁存器中8个输出端数据也均为0，即输入B为0。

把输入A设为1，由于输入B为0，此时加法器输出与A相同。

这时把锁存器的时钟置1，锁存器电路状态改变，输出的值和加法器相同；再把时钟置0，锁存器保存加法器的结果，此时加法器的输出不会影响锁存器。

锁存器同时会把加和作为加法器的输入B传递给加法器，把A的值换成2，加法器会计算A和B的加和，锁存器时钟置1后置0，再保存加和，如此循环，就可以计算输入A的累加和了。

编辑：jq