益智游戏克星：BFS暴力搜索算法

滑动拼图游戏大家应该都玩过，下图是一个 4x4 的滑动拼图：

拼图中有一个格子是空的，可以利用这个空着的格子移动其他数字。你需要通过移动这些数字，得到某个特定排列顺序，这样就算赢了。

我小时候还玩过一款叫做「华容道」的益智游戏，也和滑动拼图比较类似：

那么这种游戏怎么玩呢？我记得是有一些套路的，类似于魔方还原公式。但是我们今天不来研究让人头秃的技巧，这些益智游戏通通可以用暴力搜索算法解决，所以今天我们就学以致用，用 BFS 算法框架来秒杀这些游戏。

一、题目解析

LeetCode 第 773 题就是滑动拼图问题，题目的意思如下：

给你一个 2x3 的滑动拼图，用一个 2x3 的数组board表示。拼图中有数字 0~5 六个数，其中数字 0 就表示那个空着的格子，你可以移动其中的数字，当board变为[[1,2,3],[4,5,0]]时，赢得游戏。

请你写一个算法，计算赢得游戏需要的最少移动次数，如果不能赢得游戏，返回 -1。

比如说输入的二维数组board = [[4,1,2],[5,0,3]]，算法应该返回 5：

如果输入的是board = [[1,2,3],[4,0,5]]，则算法返回 -1，因为这种局面下无论如何都不能赢得游戏。

二、思路分析

对于这种计算最小步数的问题，我们就要敏感地想到 BFS 算法。

这个题目转化成 BFS 问题是有一些技巧的，我们面临如下问题：

1、一般的 BFS 算法，是从一个起点start开始，向终点target进行寻路，但是拼图问题不是在寻路，而是在不断交换数字，这应该怎么转化成 BFS 算法问题呢？

2、即便这个问题能够转化成 BFS 问题，如何处理起点start和终点target？它们都是数组哎，把数组放进队列，套 BFS 框架，想想就比较麻烦且低效。

首先回答第一个问题，BFS 算法并不只是一个寻路算法，而是一种暴力搜索算法，只要涉及暴力穷举的问题，BFS 就可以用，而且可以最快地找到答案。

你想想计算机怎么解决问题的？哪有那么多奇技淫巧，本质上就是把所有可行解暴力穷举出来，然后从中找到一个最优解罢了。

明白了这个道理，我们的问题就转化成了：如何穷举出board当前局面下可能衍生出的所有局面？这就简单了，看数字 0 的位置呗，和上下左右的数字进行交换就行了：

这样其实就是一个 BFS 问题，每次先找到数字 0，然后和周围的数字进行交换，形成新的局面加入队列…… 当第一次到达target时，就得到了赢得游戏的最少步数。

对于第二个问题，我们这里的board仅仅是 2x3 的二维数组，所以可以压缩成一个一维字符串。其中比较有技巧性的点在于，二维数组有「上下左右」的概念，压缩成一维后，如何得到某一个索引上下左右的索引？

很简单，我们只要手动写出来这个映射就行了：

vector>neighbor={ {1,3}, {0,4,2}, {1,5}, {0,4}, {3,1,5}, {4,2} };

这个含义就是，在一维字符串中，索引i在二维数组中的的相邻索引为neighbor[i]，：

至此，我们就把这个问题完全转化成标准的 BFS 问题了，借助前文BFS 算法框架套路详解的代码框架，直接就可以套出解法代码了：

intslidingPuzzle(vector>&board){ intm=2,n=3; stringstart=""; stringtarget="123450"; //将2x3的数组转化成字符串 for(inti=0;i< m; i++) {         for (int j = 0; j < n; j++) {             start.push_back(board[i][j] + '0');         }     }     // 记录一维字符串的相邻索引     vector>neighbor={ {1,3}, {0,4,2}, {1,5}, {0,4}, {3,1,5}, {4,2} }; /*******BFS算法框架开始*******/ queueq; unordered_setvisited; q.push(start); visited.insert(start); intstep=0; while(!q.empty()){ intsz=q.size(); for(inti=0;i< sz; i++) {             string cur = q.front(); q.pop();             // 判断是否达到目标局面             if (target == cur) {                 return step;             }             // 找到数字 0 的索引             int idx = 0;             for (; cur[idx] != '0'; idx++);             // 将数字 0 和相邻的数字交换位置             for (int adj : neighbor[idx]) {                 string new_board = cur;                 swap(new_board[adj], new_board[idx]);                 // 防止走回头路                 if (!visited.count(new_board)) {                     q.push(new_board);                     visited.insert(new_board);                 }             }         }         step++;     }     return -1;     /******* BFS 算法框架结束 *******/ }

至此，这道题目就解决了，其实框架完全没有变，套路都是一样的，我们只是花了比较多的时间将滑动拼图游戏转化成 BFS 算法。

很多益智游戏都是这样，虽然看起来特别巧妙，但都架不住暴力穷举，常用的算法就是回溯算法或者 BFS 算法，感兴趣的话我们以后再聊。