Curvelet变换在图像处理中的应用综述

　　近年来，Donoho等人提出的Curvelet变换引起了有关研究人员的密切关注尤其在图像处理领域，它被认为即将成为一项非常有用的新技术Curvelet变换是在研究小波变换的基础上发展起来的，它克服了小波变换在应用中的不足，显示出了许多独到之处众所周知，在小波变换出现的近20年间，它在信号处理中的应用得到了很大的发展，其地位也日益重要根本上讲，这得益于小波变换能够高效地对一维分段连续信号进行分析对于二维图像处理，常用的二维小波是一维小波的张量积，采用分离的变换核先对图像做水平方向的小波变换，然后再进行垂直方向的小波变换，这样的二维小波变换的基是各向同性的（isotropic），变换系数的局部模极大值只能反映出这个小波系数出现的位置是过边缘（acrossedge）的，而无法表达沿边缘（alongedge）的信息，这就使得传统小波变换在处理二维图像时表现出一定的局限性针对小波变换的上述缺点，Donoho等人提出Curvelet变换理论，其各向异性特征非常有利于图像边缘的高效表示这一特点使得Curvelet变换自1999年问世以来得到了相关研究者的高度重视，在图像处理和分析中已经取得了很多研究成果本文将扼要介绍Curvelet变换在图像去噪、图像增强、图像融合、图像恢复等几个方面的应用，结合研究中实现的部分算法进行实验说明，并探讨它的发展趋势及一些有待进一步研究的问题

　　curvelet的性质

　　小波变换是一种具有较强时、频局部分析功能的非平稳信号分析方法成功地应用于信号的特征提取领域，曲波变换作为新一代的多尺度几何分析工具取得了较好的识别效果，它考虑了尺度、位置、角度信息使其在表达图像中的曲线时明显优于小波变换。

　　Curvelet变换各向异性的特点更适合分析图像中的曲线或直线状边缘特征。

　　符合生理学研究指出的“最优”图像表示方法应该具有的三种特征，多分辨、带通、具有方向性。

　　Curvelet变换的基本理论

　　如前所述，小波变换在某些应用中长期受到沿边缘信息表达能力不足的困扰，虽然研究人员提出不少改进方法，但都没有从本质上进行革新为克服这一局限，1998年Cands提出了Ridgelet变换：对图像进行Radon变换，即把图像中的一维奇异性，比如图像中的直线，映射成Radon域的一个点，然后用一维小波进行点奇异性的检测，从而有效地解决了小波变换在处理二维图像时的问题然而，自然图像中的边缘线条以曲线居多，对整幅图像进行单尺度Ridgelet分析并不十分有效，因此需要对图像进行分块，使每个分块中的线条都近似直线，再对每个分块进行Ridgelet变换，这就是多尺度Ridgelet由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Donoho等人提出了Curvelet变换：首先对图像进行子带分解;然后对不同尺度的子带图像采用不同大小的分块;最后对每个块进行Ridgelet分析每个子块的频率带宽width、长度length近似满足关系width=length2这种频率划分方式使得Curvelet变换具有强烈的各向异性，而且这种各向异性随着尺度的不断缩小呈指数增长研究表明，用有限的系数来逼近一段C2连续的曲线时，Curvelet变换的速度远远快于傅里叶变换和小波变换换言之，对此类曲线而言，Curvelet变换是其最稀疏的表示方法总之，Curvelet结合了Ridgelet变换的各向异性特点和小波变换的多尺度特点，因此它的出现对于二维信号分析具有里程碑式的意义

　　下面简要介绍Curvelets变换的主要步骤

　　

　　

　　

　　上式表明Ridgelet变换是对Radon变换的切片的一维小波分析，其中方向角是固定的，而变量t是小波分析的对象