第2节 泰勒公式与函数图形描绘

 3.2.1   泰勒公式及其误差图示

来源:实践,常用导数进行近似运算.

由于 时所以

因此

应用范围:常用以在直接求困难,而在附近 处与较易求得时应用.条件是 与充分接近,即可达到一定的精度.

利用当为不同函数时.

有常用近似公式如下:(|x|很小时)

3..2.2 函数图形描绘示例

定理:若f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导.则f(x)在[a,b]单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a,b)内(或)

推论:若f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,且不变号

则(或<0) 严格单调上升(下降).

定理(极值的必要条件):若为f(x)的极值点,那么只可能是的零点或f(x)的不可导点.

定理(极值判别法):则 f()为极大值

f()为极小值

若 不存在,但f(x) 在 与 上可导

则若内,内则 为极小点,反之为极大点

定义:若曲线在一点的一边为上凸,另一边为下凸,则称此点为拐点,显然拐点处

定义:若则称ax+b为f(x)的一条渐进线.

定义:若则称x=c为f(x)的一条垂直渐进线.

定理:若f(x)的一条渐进线为ax+b 则,

证明:由定义知即

所以即带回定义得

函数图象描述的基本步骤:

1.确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质,如奇偶性,对称性\周期性等.

2.求出与及与不存在的各点.

3.由2的结果函数的上升,下降区间,及图形的上凸,下凸区间以及各极值点.

4.定出函数的渐近线.

5.描点作用.

Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x.

泰勒公式来源:上述公式在|x|很小时,于是即,与在x=0处函数值相等且,一阶导数相等.为进一步提高精度欲使与在二阶导数处也相等.于是,,.

得

依此类推:

对于误差,有定理: 在x=0处有n+1阶连续导数,则上式误差( 在x 与0 之间)

由定理:此式为 在x=0 处的关于x 的泰勒展开公式.即:

公式推广:一般地在x=附近关于点的泰勒公式

注意:虽然泰勒公式是在x="附近"展开,但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值,只不过若|x-|过大(即x离过远)时,相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当固定后,不同的x将使发生变化,并使变化,从而影响对f(x)的近似精度.