1.测量误差定义及分类
测量误差就是测量值，与被测量的真值
之差，直接采用这种差值表示的方法称绝对误差表示法。此外还有相对误差表示法(见式(1.8)和(1.9))等。
测量误差有不同的分类方法，常见的是按出现的规律分类，有系统误差、随机误差和粗大误差三类。
(1)系统误差
在同一条件下，对同一被测参数进行多次重复测量时，所出现的数值、符号都相同，或者按一定规律变化的误差称为系统误差，前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。产生系统误差的主要原因有：测量原理或测量方法的不完善、标准量值的不准确、仪表本身的缺陷、环境条件的变化等。系统误差是可以通过修正来补偿的，但不能完全排除。
(2)随机误差
在同一测量条件下，多次重复测量同一被测量时，其绝对值和符号以不可预定的随机性的方式变化称为随机误差。随机误差的产生可能由于人们尚未认识的原因，或目前尚无法控制的某些因素(如电子线路中的噪声)的影响，即偶然因素所引起的。
(3)粗大误差
超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。此误差值较大，明显表现为测量结果异常。如测量时读错、记错仪表指示值，仪表操作失误，测量数据计算错误等。含粗大误差的测量结果毫无意义应该剔除。
测量误差按产生的原因分类，有设备装置误差(如标准器误差、仪表误差、辅助设备和附件误差)，环境误差，方法误差和人员误差等。
2.误差的估计和评价处理方法
(1)随机误差
设在重复条件下对某个量进行无限次测量，若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的各个测量误差出现的概率密度分布服从正态分布，即
(2.1)
式中，为测量值与约定真值之间的误差;
为分布函数的标准差，其定义为
(2.2)
式中，n为测量次数。正态分布曲线如图2.1所示。可以看出正态分布的随机误差具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性等特征。
标准差反映了测量误差的分散程度，
越大，图2.1所示的曲线越趋于平坦，幅值越小，表明误差分散性较大;反之
越小，曲线越尖锐，幅值越大。对式(2.1)给出的分布函数在区间[-
，
]内积分，即可求得测量误差落在该区间上的概率。当
分别取
，2
和3
时，可求得概率
;
;
。
在实际测量中，测量次数n为有限值，而且真值为未知。可以证明n个测量值的算术平均值
(2.3)
是被测量真值的最大似然估计值，的数学期望恰好就是被测量真值。
测量值的标准差(也称样本标准差或实验标准差)为
(2.4)
测量值的算术平均值也是一个随机变量，它的实际标准差由下式计算
，
(2. 5)
式(2. 5)说明用n次测量值的算术平均值代替单次测量的测定值估计具有更高的精密度。
测量值落在置信区间[-
，
+
](
称为置信区间半长)内的置信概率用
表示，置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度。由于置信度的不同，测量结果的误差有不同的表示方法，常用的有
①标准误差 置信区间半长=
，置信概率
;
②平均误差=0.7979
，
;
③或然误差=0.6745
，
;
④极限误差=3
，
。
当测量次数n<10时，测量误差需用t分布的概率密度函数表示，即
(2. 6)
式中，
为特殊函数，
称为自由度。t分布在区间[
，
]内的置信概率为
。
各次测量(或各组测量)的精密度不同的测量过程称非等精度测量。在非等精度测量中，被测量真值的最佳估计值是各次组测量值的加权平均值，即
(2. 7)
式中，就是测量值
的权，
是一正常数，
是测量值
的标准差。加权平均值
的标准差则为
(2. 8)
(2)粗大误差
在一列测量数据中，判别是否有粗大误差现在主要有两种方法。
①拉依达法 如果测量列中某一测量值其残差(=
)的绝对值大于该测量列标准误差的3倍，即
，
那么可以认为为坏值，应予以剔除。此方法用于测量次数n>10的情况。
②格拉布斯法 当测量次数较少()时，若测量列某一测量值
的残差满足如下关系，
(2. 9)
则可以认为存在粗大误差。式中
称为格拉布斯系数，
为显著水平，(一般取0.01或0.05)。当n=3～10时，
约为1.15～2.4。和拉依达法比较，格拉布斯法在n较小时，判别粗大误差的效果更好。
(3)系统误差
分析和处理系统误差的关键，首先在于如何发现和判定测量数据中是否存在系统误差，主要检验方法或评判准则有
①实验对比法 采用准确度高一等级的“标准”仪表在相同条件下进行测量。
②残余误差观察法 设测量列中各测量值的系统误差比随机误差大，将它们按测量先后顺序排定，若残差的符号有规律地交替变化，则测量列中含有周期性系统误差;若残差的大小有规则地向一个方向变化，则测量列中含有累进的系统误差。
③马利科夫准则和阿贝-赫梅特准则 计算差值
(2. 10)
其中当n为偶数时，取，
;当n为奇数时，取
，
。若差值D显著地异于零，则测量列中含有累进的系统误差，该准则称马利科夫准则。
设
，
若，则可认为测量列中含有周期性系统误差，该准则称阿贝-赫梅特准则。
④标准差判据 用不同的标准差计算公式计算并进行比较，如由式(2.2)计算的标准差称贝塞尔公式，另一个计算标准差的公式称佩特尔斯公式，其定义为
(2. 11)
若
(n>19)，
则怀疑测量列中可能存在变值系统误差。式中k为置信概率P决定的置信系数，当和
时，k分别取2和3。
(4)误差的合成
考虑测量模型，
可以是直接测量量，也可以是影响
输出的非被测参数或外界影响因素。当函数关系明确，各个影响量的测量误差
已知(实际上就是系统误差)，则待测量
的总误差
为
(2. 12)
实际上，系统误差、随机误差和粗大误差同时包含在测量值中，它们之间没有绝对的界限，而且测量值的真值一般是不能准确知道。所以，国际上现在逐步采用不确定度来表示测量结果的质量高低程度。用标准差(由式(2.4)或(2.5)计算得到)表示的测量不确定度称标准不确定度，用u表示。标准不确定度与测量结果的绝对值的比值称相对标准不确定度，用
表示。
采用不确定度的概念后，不论测量过程产生的误差的性质，只要各输入量彼此独立，则合成的不确定度为
式中是由输入量
对
引起不确定度
的分量;
为输入量
本身的不确定度;
。下标r为相对不确定度，其中\
。