11.6 微分方程的幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。
求一阶微分方程
（1）
满足初始条件
的特解，其中函数f (x , y)是
、
的多项式：
.
这时我们可以设所特解可展开为
的幂级数
（2）
其中
是待定的系数，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端
的同次幂的系数，就可定出常数
, 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件的特解。
例1 求方程 
满足
的特解。
解 这时
，故设
，
把
及
的幂级数展开式代入原方程，得
由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得
于是所求解的幂级数展开式的开始几项为
。
关于二阶齐次线性方程
（3）
用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理：
定理 如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在 －R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么在－R＜x＜R内方程（3）必有形如
的解。
例2 求微分方程
的满足初始条件
, 
的特解。
解 这里
在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级数
（4）
由条件 得
。对级数（4）逐项求导，有
,
由条件得
.于是我们所求方程的级数解
及
的形式已成为
（5）
（6）
对级数（6）逐项求导，得
（7）
把（5）和（7）代入所给方程，并按x的升幂集项，得
因为幂级数（4）是方程的解，上式必然是恒等式，因此方程左端各项的系数必全为零，于是有
一般地 
（n=3 , 4 ,…）.
从这递推公式可以推得
一般地
(m=1,2,…)，
于是所求的特解为
。