9.1 曲线积分
9.1.1 第一类曲线积分
公式：
=
应用前提:
1.曲线L光滑,方程可以写成为:
2.函数
在L上有定义，且连续。
公式变形：若L为平面曲线，L方程为
，则公式可以写成为：
常用计算法：
１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．
２．对于平面曲线，可以用公式的变形．
３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．
如：
,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x
4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的
将有无意义的点．
公式推导及证明
推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．
分割：在Ｌ上插入n个分割点，令
，（
）；
记d＝max（
），
为［
］上的弧长，
为［］上任意一点．
求和：利用积分定义，
由弧长公式：
由中值定理：
其中
是由中值定理确定的［］上的一点，
；
于是：
利用
,
,
,
的连续性，有：
于是：
右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义
取极限：得公式：
9.1.2 第二类曲线积分
问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ．
公式的推导
分割：将ＡＢ曲线分为小弧段
，
，．．．，
．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ
．于是
上作功
，（其中，
是
线段与
的夹角）
设
，
，
是
在x,y,z三轴正方向的投影．
则：
做和：
9.1.3 两类曲线积分的联系
设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t与三正向坐标系的夹角.于是
,
,
,据二类曲线计算公式:
;
由一类曲线推导得:
由曲线方程对称性的公式如下:
对于平面时,公式可化为:
平面上,设n为法方向,t为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)
于是: 