7.2.1 多元复合函数求导法则及实例
定理 如果函数u=φ(t)及ψ（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：
。
例 设z=eusinv，而u = xy，v = x+y。求
。
解
7.2.2 隐函数的求导公式
一个方程的情形
隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0，则方程F(x,y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = f(x0)，并有
。
上面公式就是隐函数的求导公式。
隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，则方程F(x,y,z) = 0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x,y)，它满足条件z0 = f(x0,y0)，并有
。
例 设x2+y2+z2-4z = 0，求
，
解 设F（x,y,z）= x2+y2+z2-4z ，则Fx = 2x，Fz = 2z-4。应同上面公式，得
。
再一次对x求偏导数，得
。
二方程组的情形
隐函数存在定理3 设F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）在点P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：
在点P（x0,y0,u0,v0）不等于零，则方程组F（x,y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在点（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u = u（x,y），v = v（x,y），它们满足条件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有
。