1.2.1 数列极限的概念
设{
}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的
，总存在一个正整数N，当n>N时都有
，我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛，且收敛于a，记为
，a即为的极限。
数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数
全部落在这个区间内。
1.2.2 函数极限的概念
设函数f(x)在
点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定
，一定存在
，使得当
时，总有
，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。
例如：
，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，显然等于2。
1.2.3 单调有界数列必有极限
单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：
如果数列
满足条件
，
就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。
在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。
对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点
只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。
从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。
考虑数列
，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即 
。
可以证明，当x取实数而趋于
或
时，函数
的极限存在且都等于e，这个e是无理数，它的值是 e = 2.718281828459045…
1.2.4 柯西（Cauchy）极限存在准则
我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。
柯西（Cauchy）极限存在准则 数列
收敛的充分必要条件是：
对于任意给定的正数
，存在着这样的正整数N，使得当m>N，n>N时，就有
。
必要性的证明 设
，若任意给定正数，则
也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当n>N时，有
；
同样，当m>N时，也有
。
因此，当m>N， n>N时，有
所以条件是必要的。
充分性的证明从略。
这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大号码的点
，任意两点间的距离小于。
柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。