一种计算代数曲面间的Hausdorff距离的计算

　　Hausdorff距离是两组点集之间相似程度的一种度量，它度量了两个点集间的最大不匹配程度。Hausdorff距离在计算机图形学、计算辅助几何设计、计算机视觉、图像处理等领域有十分重要的应用。

　　已有的有关Hausdorff距离的工作一般都是针对点集（图像）、多边形网格、或者参数曲线曲面提出来的。早期Rucklidge针对2维图像提出了一种高效的Hausdorff距离计算方法，但该方法很难推广到3维。Atallah针对非相交平面凸多边形提出了一种计算时间为线性函数的Hausdorff距离计算方法。Barton等针对多边形网格提出了一种计算精确Hausdorff距离的方法，但是速度很慢，达不到实时计算的目的。Tang等借助于BVH技术提出了一种多边形网格之间Hausdorff距离近似计算的方法，速度很快，可以达到实时计算的要求。Kim等借助于双圆弧和深度缓存技术提出了一种计算参数曲线之间Hausdorff距离的方法。Bai等用折线逼近的办法提出了一种计算参数曲线之间Hausdorff距离的方法。Chen等提出了一种计算B样条曲线之间Hausdorff距离的方法。近期，Hanniel等‘明使用GPU加速技术提出了一种针对NURBS曲面的Hausdorff距离计算方法。以上这些算法都没有涉及到代数曲面之间的Hausdorff距离计算问题。Juttler对隐式曲线之间或者参数曲线之间的Hausdorff距离的上界进行了理论上的估计，但是关于隐式曲线之间Hausdorff距离没有给出具体的计算算法。

　　近年来随着计算机计算能力的大幅提升，代数曲线曲面在计算机图形学和几何造型中的运用越来越多，从而代数曲线曲面间的Hausdorff距离的计算也就显得十分重要。然而由于伐数曲面的难操作性，一般情况下很难进行参数化，所以到目前为止代数曲面之间的Hausdorff距离计算还没有任何算法问世。本文在区间分析和细分算法的基础上针对代数曲面之间的Hausdorff距离计算问题首次提出了一种计算方法。该算法的基本思想是用修正仿射算术先对代数曲面进行离散化，然后通过计算离散化后的一个个小立方体f体素）间的Hausdorff距离来近似代替代数曲面间的Hausdorff距离，在求解过程中借助了八叉树和区间算术进行加速。数值试验表明本文给出的算法能有效且稳定地计算出两张代数曲面之间的Hausdorff距离的近似值，并且能在计算出近似值的同时给出误差范围。但是当精度要求较高的时候，时间开销会变得很大。