Linear Algebra经典线性代数教材PDF电子书免费下载

　　这本书涵盖了线性代数的各个方面，包括在最高级的本科教材中。从复向量空间、复内积、正规算子的谱定理、对偶空间、商空间、极小多项式、约当正则形式和弗罗贝尼乌斯（或有理）正则形式中解释了所有常见的主题。关于行列式的一章作为最后一章被包括在内，但它们并没有在正文中作为一个整体来使用。不使用行列式的线性代数的另一种方法可以在〔Axler〕中找到。

　　这本书预期的先决条件是在矩阵代数中修一门下除法课程。这篇文章的一个很好的参考文献是〔Bretscher〕。

　　在其他关于线性代数的书中，我认为这本书与诸如〔Axler，Curtis，Halmos，Hoffman Kunze，Lang〕等书相比有一定的难度。如果你想考虑更具挑战性的书，我建议你看研究生水平的书〔Gre〕。乌布，罗曼，瑟尔。

　　第一章包含了抽象向量空间和线性映射的所有基本内容。线性映射的维数公式是理论上的亮点。为了促进一些更具体的发展，我们涵盖了矩阵表示、基的变化和高斯消元。线性独立性通常在线性代数中引入得更早，直到本章的结尾。但在那里有详细的介绍。我们还包含了关于双空间和商空间的两个部分，这些部分可以跳过。

　　第二章是关于线性算子的理论。线性微分方程用于激励引入特征值和特征向量，但这种激励可以忽略。然后，我们解释如何使用高斯消元来计算矩阵的特征值和特征向量。这用于了解有限维空间上的线性算子如何和何时可对角化的基本知识。我们还引入了最小多项式，并用它给出了对角化算子的经典刻画。在后面的章节中，我们给出了一个相当简单的凯莱-汉密尔顿定理和循环子空间分解的证明。这很快导致了弗罗贝尼乌斯范式。这个标准形式是关于如何在线性映射不可对角化的情况下找到简单矩阵表示的最一般的结果。前倒数第二节的解释表明，弗罗贝尼乌斯规范形式暗示了约旦-切瓦利分解和约旦-魏尔斯特拉斯规范形式。在最后一节中，我们提出了一个快速而基本的史密斯正规形式的方法。这种形式允许我们使用基本的行和列操作直接计算具有多项式项的矩阵的所有相似度不变量。

　　第三章包括关于内部产品空间的材料。柯西-施瓦兹不等式及其对贝塞尔不等式的推广，以及它们如何与正交投影相联系，构成了本章的理论核心。在此过程中，我们通过格拉姆-施密特程序，以及正交互补和正交投影，讨论了正交碱基及其存在的标准事实。本章还包含了线性映射邻接的基本元素，以及它对正交投影的一些用途，因为这与正交基很好地联系在一起。最后，我们将讨论矩阵指数和微分方程组。

　　第四章对内积空间之间的线性映射理论进行了深入的探讨。最重要的结果当然是自伴算符的谱定理。该定理用于建立实、复正规算子的正则形式，给出了一元、正交、斜伴随算子的正则形式。应该指出的是，谱定理的证明不依赖于我们使用的是实尺度还是复尺度，也不依赖于特征多项式或极小多项式。忽略我们先前关于对角化性的材料的原因是，我们希望有一个更容易概括为无限维的理论。使用特征多项式和极小多项式的常用证明可归结为练习。本章的最后部分包括奇异值分解、极性分解、复线性算子的三角化（舒尔定理）和二次型。

　　第5章介绍了行列式。在这一点上，引入行列式似乎几乎是无用的，因为我们在不需要它的情况下，已经讨论了这个理论。行列式虽然不是必不可少的，但在给出特征多项式的清晰定义时非常有用。它也是有限维算子最重要的不变量之一。它有几个很好的性质，并给出了一个很好的判断何时一个算符是可逆的。它还可以方便地给出线性系统解的公式（克莱默法则）。最后，我们讨论了它在线性微分方程理论中的应用，特别是与非齐次方程解的参数变化公式有关。我们利用体积形式自由地定义了线性算子的行列式。除了证明存在体积形式之外，这还提供了一种不使用置换来证明行列式所有性质的相当好的方法。它还具有自动给出行列式的置换公式的额外好处，因此表明置换的符号定义良好。

　　在第一章中，我们将讨论向量空间、线性映射和子空间的定义。此外，我们还介绍了一些重要的概念，如基、维、直和、线性映射的矩阵表示、线性映射的核和图像。我们将证明线性映射的维数定理，它将域的维数与核和图像的维数联系起来。我们给出了高斯消元，以及它如何与更抽象的理论联系在一起。这将用于定义和计算第2章中的特征多项式。重要的是要注意教派。1.13和1.12包含本章某些重要结果的替代证明。因此，在讨论了宗派同构之后，有些人可能会想直接进入这些章节。1.8然后回到遗漏的部分。由于归纳法将在许多证明中发挥重要作用，我们在第一节中选择了对这个主题说一些事情。