什么是数​？2是一个数吗？

什么是数？

2是一个数吗？肯定是的咯。 那“二”呢？“two”呢？ 相信你能感觉到，它们不但都是数，而且是在用不同的记号表达着同样的一个“东西”，即那个我们数两个苹果或两个梨时天然感觉到的量。这个感觉说不清道不明，但真真切切地存在——谁都会数数嘛。

这就麻烦了，如何刻画、把握与定义一个说不清道不明的东西呢？哲学家维特根斯坦（Wittgenstein）有言“一个词的含义是它在语言中的用法”。

在工程界也有着所谓鸭子测试（Duck Test）的准则：如果一个事物看起来像鸭子、游起来像鸭子、叫起来也像鸭子，那它就是个鸭子。这指引着我们通过概念的性质来定义概念本身。

我们通过性质来定义概念。

换言之，我们不关心一个概念是什么，而关心它满足什么。正是概念满足的性质定义了这个概念本身。

为什么要这样呢？因为可能有很多具体的对象都承载着我们关心的概念，这个概念不是其中任何一个具体对象，而是所有这些对象所共同承载着的那个存在，其彰显于这些对象所共同具有的性质。



如图所示，如果我们要定义概念“圆形”，会发现它既不是“盘子”，也不是“车轮”，而是盘子与车轮所共享的那种怎么转都不变的形状。关于定义的这一点认识对后文进入抽象世界至关重要。

除此之外，我们不描述概念是什么还有一个很重要的原因——很遗憾，我们可能永远无法知道某个概念真正是什么。

最经典的例子当属柏拉图（Plato）的洞穴寓言（allegory of the cave）。

想象你自打出生便被关在一个洞穴里，洞口有一块峭壁，阳光将洞外人们日常生活的影子打在这块峭壁上。日复一日，你能看到的世界只有这块二维峭壁上的倒影，诚然其中有日出日落、阴晴圆缺、人头攒动…… 那些都只是表象，只是我们这个“更加真实”的三维世界在你的二维世界中的投影！很遗憾，你永远不可能知道这些，你永远不可能真正知道峭壁上的那些活动着的东西是什么。

基于以上两点，我们不谈论概念是什么，而只关心其性质，并由此定义概念本身。

那么，我们选取哪些性质呢？不能太多，否则范围缩得太窄而可能有遗漏；也不能太少，不然范围太大就海纳百川了。这道边界划在哪里呢？不要忘了，任何时候，当我们在谈论一个概念时，一定是有语境、有上下文、有目的、有话题的。

我们基于所在讨论的话题，选择恰好充分的若干期望被满足的性质来定义概念。

具体来说，我们现在要定义“数”，我们的语境是什么呢？是今天的天气？是一二三四的味道？当然不是。我们能懵懂地感觉到，我们在谈论的东西，关乎数（第三声），关乎运算。 于是，如果一个东西能用于计数，还能进行加减乘除，那不管它是什么，于我们讨论的话题就足以被称为“数”了！

在加减乘除四则运算中，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，故我们可以进一步将要求降低到能进行加法与乘法。于是，这些就是我们要找的那恰好充分的性质！ 数是这样的存在，其可以用于计数，彼此间可以相加、相乘。反之，如此这般的存在，便可以被认为是数。

可这还没完，那什么叫“计数”，什么又叫“相加”“相乘”呢？我们先来看第一个问题。 门前大桥下，游过一群鸭。快来快来数一数，二四六七八。这首脍炙人口的儿歌想必你能哼出来。相比于一、二、三、四、五这些数（第四声），一个、两个、三个、四个、五个地数（第三声），几乎是生而为人与生俱来的能力。计数不过就是数数的同义词。作为如此习以为常的天生能力，要如何定义数数呢？

让我们来想一想，数数时数到的“二”，其本质是个什么。英国人叫其“two”，所以显然“二”“two”这些名称本身并无关乎其本质。还有一个角度，我们可以说“二”是“一”后面的那个数，是“三”前面的那个数。 那什么是“一”，什么又是“三”呢？什么是“前面”，什么又是“后面”呢？ 仿佛到了一个死胡同。看来我们不能盯着“一”“二”“三”这些具体的孤立数字不放，而是要把视角抬高，先把“数数”这个概念明确了！毕竟每一个数的存在是由数数这个概念的存在衍生来的。不难发现，数数这个概念完全由如下两个性质刻画：

1. 有一个计数的开始；

2. 我们可以一个一个不停地数下去。

基于此，我们可以做出如下定义：

• 定义“一”为第一点所规定的那个计数的开始；

• 定义“二”为从“一”数下去的下一个对象；

• 定义“三”为从“二”数下去的下一个对象；

• …… 抛开措辞不谈，深究起来，这里还有问题。这个定义并没有排除一种可能性： 数着数着会不会兜回来？一、二、三、二？也即，一个数的下一个数会不会等于之前的某个数？光看定义是有这种可能的，虽然我们可以说这一点已经被“能不停地数下去”所排除，因为不然的话，我们数数就变成“一二三二三二……”，没有“下去”呀！ 话虽如此，但想必你也意识到了，这正是自然语言的模糊与歧义所在，根本没有办法用它来明确定义如数数这般已然模糊不清难以明言的人类本能。使用一种更加纯粹、规范、无歧义的语言势在必行！

语言是什么？

要上手一门新的语言，第一步自然是要掌握这个语言的字母、单词和语法。数学这门语言的字母、单词和语法，统称为形式。

何谓形式？

形式（form）即无意义的符号（symbol）。

那进而何谓符号？

符号即有限长度的字符序列（sequence of letters）。

那又何谓字符序列呢？

这就触及这本书的边界了——我们不再尝试对“字符序列”加以定义，而是需要由你诉诸自己的直觉来理解。比如，“你好”就是一个由两个字符“你”与“好”组成的字符序列。

当然，我们一看到它便会立马不自觉地为其赋予意义，知道它是在表达打招呼的意思。

不妨再来看个符号：“KILIG”，这是一个由五个字符构成的符号，它对你来说完全没有意义了吧！它不是英文，而是来自一个叫 Tagalog 的菲律宾吕宋岛中部的民族。对于那里的人们，这个符号是有意义的，用于形容浪漫或有趣的事情发生后肚子里仿佛有蝴蝶在飞舞一般的感觉。

从这两例我们能看到，符号与其意义是两件独立的事情，符号本身是没有意义的，以纯粹形式存在，只有当它被置于一个语境之中后，才获得了意义。 让我们再来看一个例子。考察 1 + 1 = 2 这个断言。 它成立吗？当然成立！ 可是要知道，仅当我们赋予了 1、2、+、= 这些符号我们惯常的含义后，它才成了一个算术意义上正确的等式。

但在形式上它显然是不成立的！为啥？因为即使我们为 = 赋予了惯常的“等于”之含义，其左边有三个字符1、+、1，右边只有一个字符 2，当然是不同的字符序列呀！

有了一堆符号后，我们首先能做的便是随意组合它们。比如，给你两个符号 和 ，我们能组合出如下这些：, , , , , · · · 再比如，给你三个符号“你”“好”“呀”，我们能组合出你好，你好呀，呀好你，好呀你，你呀呀，好好好, · · · 然而，并不是所有的组合都应被采纳。

比如第二个例子中，若我们是想研究中 文，那么显然只有“你好”“你好呀”可以接受，“呀好你”这种胡言乱语应该被丢掉。这种对符号组合进行的选择，便是我们俗称的语法。 再以英语为例。假如我们有符号 I, l, o, v, e, y, u 以及空格，我们可以组合出：I love you，I you love，you love I，ouyi evool uy，… 显然，只有第一句是合乎语法的。

语法（grammar）是对符号组合的选择。我们称符号组合为公式（formula）。称符合语法的公式为合式公式（well-formed formula）。

至此，我们有了字母、单词和语法，一门语言便诞生了！ 形式语言（formal language）由如下两部分构成：

• 由有限个符号构成的字母表（alphabet），

• 一个语法。

进而，我们说：数学是一门形式语言。

审核编辑：刘清