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LDPC

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LDPC是Low Density Parity Check Code英文缩写,意思是低密度奇偶校验码,最早在20世纪60年代由Gallager在他的博士论文中提出。

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LDPC简介

  LDPC码最早在20世纪60年代由Gallager在他的博士论文中提出,但限于当时的技术条件,缺乏可行的译码算法,此后的35年间基本上被人们忽略,其间由Tanner在1981年推广了LDPC码并给出了LDPC码的图表示,即后来所称的Tanner图。1993年Berrou等人发现了Turbo码,在此基础上,1995年前后MacKay和Neal等人对LDPC码重新进行了研究,提出了可行的译码算法,从而进一步发现了LDPC码所具有的良好性能,迅速引起强烈反响和极大关注。经过十几年来的研究和发展,研究人员在各方面都取得了突破性的进展,LDPC码的相关技术也日趋成熟,甚至已经开始有了商业化的应用成果,并进入了无线通信等相关领域的标准。LDPC码是通过校验矩阵定义的一类线性码,为使译码可行,在码长较长时需要校验矩阵满足“稀疏性”,即校验矩阵中1的密度比较低,也就是要求校验矩阵中1的个数远小于0的个数,并且码长越长,密度就要越低。

LDPC百科

  LDPC是Low Density Parity Check Code英文缩写,意思是低密度奇偶校验码,最早在20世纪60年代由Gallager在他的博士论文中提出。

  发展历史

  LDPC码最早在20世纪60年代由Gallager在他的博士论文中提出,但限于当时的技术条件,缺乏可行的译码算法,此后的35年间基本上被人们忽略,其间由Tanner在1981年推广了LDPC码并给出了LDPC码的图表示,即后来所称的Tanner图。1993年Berrou等人发现了Turbo码,在此基础上,1995年前后MacKay和Neal等人对LDPC码重新进行了研究,提出了可行的译码算法,从而进一步发现了LDPC码所具有的良好性能,迅速引起强烈反响和极大关注。经过十几年来的研究和发展,研究人员在各方面都取得了突破性的进展,LDPC码的相关技术也日趋成熟,甚至已经开始有了商业化的应用成果,并进入了无线通信等相关领域的标准。LDPC码是通过校验矩阵定义的一类线性码,为使译码可行,在码长较长时需要校验矩阵满足“稀疏性”,即校验矩阵中1的密度比较低,也就是要求校验矩阵中1的个数远小于0的个数,并且码长越长,密度就要越低。

  应用热点

  LDPC码即低密度奇偶校验码(Low Density Parity Check Code,LDPC),它由Robert G.Gallager博士于1963年提出的一类具有稀疏校验矩阵的线性分组码,不仅有逼近Shannon限的良好性能,而且译码复杂度较低, 结构灵活,是近年信道编码领域的研究热点,目前已广泛应用于深空通信、光纤通信、卫星数字视频和音频广播等领域。LDPC码已成为第四代通信系统(4G)强有力的竞争者,而基于LDPC码的编码方案已经被下一代卫星数字视频广播标准DVB-S2采纳。

  译码算法

  对同样的LDPC码来说,采用不同的译码算法可以获得不同的误码性能。优秀的译码算法可以获得很好的误码性能,反之,采用普通的译码算法,误码性能则表现一般。LDPC码的译码算法包括以下三大类:硬判决译码,软判决译码和混合译码。1. 硬判决译码将接收的实数序列先通过解调器进行解调,再进行硬判决,得到硬判决0,1序列,最后将得到的硬判决序列输送到硬判决译码器进行译码。这种方式的计算复杂度固然很低,但是硬判决操作会损失掉大部分的信道信息,导致信道信息利用率很低,硬判决译码的信道信息利用率和译码复杂度是三大类译码中最低的。常见的硬判决译码算法有比特翻转(bit-flipping, BF)算法、一步大数逻辑(one-step majority-logic, OSMLG)译码算法。2. 软判决译码可以看成是无穷比特量化译码,它充分利用接收的信道信息(软信息),信道信息利用率得到了极大的提高,软判决译码利用的信道信息不仅包括信道信息的符号,也包括信道信息的幅度值。信道信息的充分利用,极大地提高了译码性能,使得译码可以迭代进行,充分挖掘接收的信道信息,最终获得出色的误码性能。软判决译码的信道信息利用率和译码复杂度是三大类译码中最高的。最常用的软判决译码算法是和积译码算法,又称置信传播 (belief propagation, BP)算法。3. 与上述的硬判决译码和软判决译码相比,混合译码结合了软判决译码和硬判决译码的特点,是一类基于可靠度的译码算法,它在硬判决译码的基础上,利用部分信道信息进行可靠度的计算。常用的混合译码算法有、加权比特翻转(weighted BF, WBF)算法、加权OSMLG(weighted OSMLG, WMLG)译码算法。

  LDPC初级之Decoder基础

  LDPC (Low-Density Parity-Check,低密度奇偶校验) 强大的纠错能力使其应用范围越来越广。LDPC可以简单的分成编码器(Encoder),信道模型(Channel model),解码器(Decoder)三部分。其中Decoder在这三部分中最为简单,为此,初级系列先介绍decoder,便于大家对LDPC有一个初步的了解。

  如今LDPC的Decoder多采用sum-product decoding。而在介绍sum-product之前,有必要先介绍message-passing和bit-flipping decoding,了解它们对于了解sum-product,以及后续深入学习LDPC有很大的帮助。

  Tanner Graph

  直观认识message-passing工作原理的最佳工具是Tanner Graph。每个parity-check matrix H都有一个对应的Tanner Graph。以一个例子说明Tanner Graph的构造原理,如下H矩阵:

  (1)

  H阵的每一行对应的都是一个parity-check,将第m行中每个“1”所处的第n列,即bit cn,归纳成一个组合

  N_{m}=\left\{ n:H_{mn}=1 \right\}

  比如, N_{1}=\left\{ 1,2,4\right\} N_{2}=\left\{ 2,3,5\right\} .因此,第m行的parity-check可以表述成:

  

  其中c_{n} 是第m行中元素。

  同时,定义

  

  为第m行中除了第n列,其它元素为“1”的列。比如, N_{1,1}=\left\{ 2,4\right\} N_{1,2}=\left\{ 1,4\right\} .

  除了组合每行中的元素“1”的列位置,还需组合每列中元素“1”所处的行位置。定义:

  

  为第n列(bit cn)所处元素为“1”的行。比如, M_{1}=\left\{ 1,3\right\} M_{2}=\left\{ 1,2\right\} .

  定义:

  

  为第n列中除了第m行,其它对应元素为”1”的行。如:, M_{1,1}=\left\{3\right\} .

  了解这些,除了对创建Tanner Graph有帮助外,还对了解后续的bit-flipping, sum-product等帮助。

  Tanner Graph由三种元素构成:

  - bit nodes:代表H阵中的列,也就是codeword的每个bit;

  - check nodes:代表H阵中的行,也就是parity-check约束;

  - edge:如果Hmn=1,则第n个bit node和第m个check node之间会互连,即一条edge。

  根据以上的H矩阵,其对应的Tanner Graph如下图:

  

  因为N_{1}=\left\{ 1,2,4\right\} , 则check node z1与c1, c2, c4之间有edge。因为 M_{1}=\left\{ 1,3\right\} ,则bit node c1与z1, z3之间有edge。

  Message-Passing

  Message-passing是指信息在相连的check nodes和bit nodes间传递。Bit-flipping和sum-product decoding都属于message-passing,所不同的是,二者传递的信息不一样。下面以BEC(Bit Erasure Channel)为例,介绍message-passing的工作原理,让大家对其有一个直观的了解。

  所谓BEC,是指在其通道中传输的信号要么被接收器正确的接收,要么被通道erase掉,使得接收器没有接收到此信号。由于接收到的信号都是正确的,因此Decoder只需要处理那些没有接收到的未知信号即可。

  回想Decoder判断接收信号r为codeword的基本原理,

  H\bullet r=0

  以H阵的z1为例,则需满足如下关系

  

  假设bit c1=r1=”0”,c2=r2=”1”,c4在经过BEC通道时出错,导致r4未知:r4=”x”,则可以推断出c4=“1”,由此完成对c4在纠错。因此,BEC的message-passingdecoding可以简化如下:

  1. 初始化:接收到信号(”x”代表对应bit被BEC erase)视为由bit nodes传递给相连check nodes的初始信息。

  2. check nodes update: 如果传递到check node zm的信息中没有”x”,则check nodes无需生成新信息;如果只有cn=”x”,则需根据

  

  其中\sum_{}^{}{} 为mod 2求和, E_{m,n} =\left\{ 0,1,x \right\} 为check node zm生成的信息,并将其传递给bit cn。如果有两个及以上的bit node为”x”,则zm无法纠错,E_{m,n} =\left\{ x \right\} .

  3. bit nodes update: 如果bit nodes的状态为”x”,则将其更新为接收到的信息。

  4. 如果bit nodes没有了”x”,则decoding结束;否则从步骤2处开始,继续迭代。

  Example:

  由方程(1)中的H矩阵,编码得到一个codeword c=[0 0 1 0 1 1]。经过BEC通道后,接收到的信号r=[0 0 1 x x x]。 Message-passing decoding的纠错过程如下:

  1. 初始化:bit nodes传递给check nodes的初始信息M=[0 0 1 x x x]。

  2. Check nodes update:

  由H矩阵及其Tanner Graph可知,z1与c1, c2, c4相连,其中M4=”x”,则check nodez1生成信息

  

  z2与c2, c3, c5相连,其中M5=”x”,则check nodez2生成信息

  

  z3与c1, c5, c6相连,其中M5=”x”,M6=”x”。因为有两个未知信息,所以check nodez3无法纠错,因此z3生成信息

  

  z4与c3, c4, c6相连,其中M4=”x”,M6=”x”。则

  

  3. Bit nodes update

  因为M4=”x”,E_{1,4}=0, E_{4,4}=x  ,则Bit node c4=”0”。

  因为M5=”x”,E_{2,5}=1, E_{3,5}=x  , 则Bit node c5=”1”。

  因为M6=”x”, E_{3,6}=x, E_{4,6}=x  ,,则Bit node c6=”x”。

  Bit nodes update结束后,各Bit node的信息更新为M=[0 0 1 0 1 x]。因此重复Check nodes update,继续迭代。

  4. Check nodes update

  z3与c1, c5, c6相连,其中M6=”x”。则

  

  z4与c3, c4, c6相连,其中M6=”x”。则

  

  5. Bit nodes update

  目前只有M6=”x”, E_{3,6}=1, E_{4,6}=1  , 则Bit node c6的信息更新为1,M=[0 0 1 0 1 1]。

  6. End

  至此,所有bit nodes的信息都为0/1,不再有”x”,纠错结束。

  通过以上的分析,想必大家对message-passing decoding中的message和passing有了直观的了解。BEC的特性决定了接收到的信息一定是正确的,所以其decoding的方法只是syndrome decoding。但是在BSC (Binary Symmetric Channel)和AWGN (Additive White Gaussian Noise)通道中,由于接收到的数据并不能明确知道其对错,导致decoding的方法会与BEC有所不同。

  尽管BEC的message-passing decoding方法非常简单,但是其中也存在缺陷。请大家思考一个问题:什么情况下,无论进行多少次的迭代计算,BEC的message-passing decoding依然无法纠错成功?后续的文章中会对此做专题分析。

  Bit-Flipping Decoding

  Bit-flipping是message-passing中的hard-decision算法,在bit nodes 和check nodes中,传递的信息是0/1。Check node依然利用syndrome decoding的方法来生成信息。与BEC中的message-passing decoding不同的是,由于每个接收到的bit信息都存在出错的可能性,所以check nodes需要针对每个与之相连的bit node生成信息。具体decoding步骤如下:

  1. 初始化:接收到信号视为由bit nodes传递给相连check nodes的初始信息。

  2. check nodes update: check node zm根据接收到的信息,针对每个与之相连的bit node生成信息

  

  其中 \sum_{}^{}{} 为mod 2求和。

  3. bit nodes update: bit node接收与之相连的check nodes传递来的信息。如果接收到的大部分信息与原bit node值不同,则bit node值翻转。

  4. 如果bit nodes的值满足syndrome decoding,则decoding成功;否则从2开始继续迭代。

  Example:

  由方程(1)中的H矩阵,编码得到一个codeword c=[0 0 1 0 1 1]。经过BSC通道后,接收到的信号r=[1 0 1 0 1 1]。 Bit-flipping decoding的纠错过程如下:

  1. 初始化:bit nodes传递给check nodes的初始信息M=[1 0 1 0 1 1]。

  2. Check nodes update: check node z1接收来自bit node c1, c2, c4的信息,则

  

  即反馈给c1的信息E_{1,1}=0 , 如下图所示。

  

  反馈给c2的信息

  

  反馈给c4的信息

  

  同理,依次计算出:

  

  3. Bit nodes update:

  bit node c1与check nodes z1,z3相连,如下图所示。E_{1,1}=0, E_{3,1}=0  , 而M_{1}=0 。根据服从大多数的原则,c1的信息要翻转,则 M_{1}=1

  

  bit node c2与check nodes z1,z2相连,

  

  不满足大多数的原则,M_{2} 保持不变;

  bit node c3与check nodes z2,z4相连,

  

  则M_{3} 保持不变;

  bit node c4与check nodes z1,z4相连,

  

  M_{4} 保持不变;

  bit node c5与check nodes z2,z3相连,

  

  M_{5} 保持不变;

  bit node c6与check nodes z3,z4相连,

  

  M_{6} 保持不变。

  Bit nodes update完成后,M=[0 0 1 0 1 1]。

  4. 验证M是否满足syndrome decoding.

  

  同理,s_{3}=s_{4}=0 。因此纠错成功,c=[0 0 1 0 1 1]为发送codeword.

  通过对BEC中的Message-passing decoding,以及Bit-flipping decoding的介绍,了解各decoding方法中的message和passing后,对于message-passing的工作过程及基本原理会有一个直观的影响。这对于掌握sum-product decoding会有很好的帮助。

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