资料介绍
最初,功能分析是对功能的研究。它现在被认为是一个统一的主题,概括了许多线性代数和实/复分析,强调无限维空间。这本书从这些基本的准备工作中介绍了这个庞大的主题,并将抽象理论及其应用发展为三个部分:(i)度量空间,(ii)Banach和Hilbert空间,以及(iii)Banach代数。尤其是在千禧年之交的数字革命中,希尔伯特空间和最小二乘近似已经成为数学教育的必要和基本课题,不仅对数学家,而且对工程师、物理学家和统计学家也很有兴趣。在信号处理、数据分析、回归、量子力学等方面,Banach空间,特别是l1和l?方法,在应用中得到了广泛的应用,并在许多优化问题上补充甚至取代了经典的最小二乘法。
这本书的主要目的是为读者提供一本入门教材,从初等线性代数和实际分析开始,并充分发展理论,以了解各种应用,包括最小二乘近似等,都是单一框架的一部分。工作。一本教科书必须在严谨和理解之间取得平衡:不是因为省略了“困难”的证明而显得过于简单,而是因为对普通读者使用了过于严格的语言,并将定理视为通往其他定理的垫脚石而显得既不太先进。尽管这方面的书籍很多,但在本科生和研究生的课本之间,在学习困难上仍然存在着明显的差距。这本书的目的是在中间:它涵盖了许多材料,有许多不同难度的练习,但重点是让学生清楚地记住使用直观语言的理论。例如,实分析是从度量空间(包括实数空间的构造)的更广泛的图景中重新展开的,而不是通过更抽象的拓扑空间。
本书面向对数学分析及其应用感兴趣的本科生,或希望对基本数学概念和技术采用更严格方法的研究工程师/统计学家。它也可以作为现代数学中占有中心地位的学科的参考或自学,为进一步研究开辟了许多途径。基本要求主要是数学的导论主题:集合与逻辑符号、向量空间和实分析(微积分),除此之外,参加傅立叶级数、勒贝格积分和D复杂分析。本书对向量空间和可测量集进行了回顾,而其他两个提到的主题仅在需要的范围内发展。涉及函数分析的许多数学领域都有例子。对于读者来说,在适当的地方遇到这些其他的主题是很有帮助的,但这并不重要。其目的是从功能分析的角度进行连接和描述。借助于互联网上的现代搜索工具,任何有兴趣跟踪某个特定主题的人都可以轻松地进行搜索。各部分以线性方式相互衔接,三个部分组成三个一学期的课程,尽管第二部分的长度是其他部分的两倍。以下章节可以省略,但对后续主题没有太大影响:
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