数学分析试卷

数学分析期末考试题
一、 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）
1、 函数 在 [a,b] 上可积，那么（     ）
A 在[a,b]上有界     B 在[a,b]上连续
C 在[a,b]上单调     D 在[a,b]上只有一个间断点
2、函数 在 [a,b] 上连续，则在[a,b]上有（     ）
A      B
C      D
3、 在[a，+∞]上恒有 ，则（     ）
A 收敛 也收敛     B 发散 也发散
C 和 同敛散       D 无法判断
4、级数 收敛是（      ）对p=1,2…，
A 充分条件   B必要条件   C充分必要条件   D 无关条件
5、若级数 收敛，则必有（       ）
A     B     C     D
6、 在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么（      ）
A f（x）在[a，b]可导，且
B f（x）在[a，b]可导，但 不一定等于
C 点点收敛，但不一定一致收敛
D 不一定点点收敛
7、下列命题正确的是（     ）
A 在[a，b]绝对收敛必一致收敛
B 在[a，b] 一致收敛必绝对收敛
C 在[a，b] 条件收敛必收敛
D若 ，则 在[a，b]必绝对收敛
8、 的收敛域为（      ）
A (-1,1)     B (-1,1]    C [-1,1]    D [-1,1） 
9、下列命题正确的是（      ）
A 重极限存在，累次极限也存在并相等
B累次极限存在，重极限也存在但不一定相等
C重极限不存在，累次极限也不存在
D 重极限存在，累次极限也可能不存在
10、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（    ）
A f(x,y)在（x0,,y0）可微          B f(x,y)在（x0,,y0）连续
C f(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向导数均存在     D 以上全不对
二、计算题：（每小题6分，共30分）
1、
2、计算由曲线 和 围成的面积
3、求极限
4、 已知 ，求
5、 计算 的收敛半径和收敛域
三、讨论判断题（每小题10分，共30分）
1、讨论 的敛散性
2、 判断 的敛散性
3、 判断 的一致收敛性
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明
2、设级数 收敛，则当 时，级数 也收敛

参考答案
一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D
二、1、由于 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）
  （4分）
2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）
所求的面积为： （4分）
3、解：由于 有界， （2分）
 = （3分）= =2（1分）
4、解： = （3分） = （3分）
5、解： ，r=2（3分）
由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界，所以将其分为
  = + （2分）
考虑奇点x=0应要求p-1<1；奇点x=1应要求p+q<1；（4分）当 时，由于 ，知2p+q-1>1时积分收敛（2分）
所以反常积分满足p<2且2(1-p)2、解：由于 （6分），又 发散（2分）
所以原级数发散（2分）
3、解： （6分），由weierstrass判别法原级数一致收敛性（4分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明： （1）（4分）
 （2）（4分）
将式（2）代入（1）得证（2分）
2、证明： （4分） 单调下降有界（3分）由Abel定理知原级数收敛（3分）