《数学建模与实验》实验指导书

⒈目的
计算机的应用在数学建模的教学中占有重要地位，在为解决实际问题而建立数学模型的过程中、对所建模型的检验以及大量的数值计算中，都必需用到计算机。《数学建模与实验》的实验课的目的和任务是通过实验培养并提高学生的数学建模能力和计算机应用能力。
⒉实验任务分解
通过一些实例初步掌握建立数学模型的方法，实验任务可分解为：初等建模，确定性连续模型，确定性离散模型，随机性模型。在各个具体任务中，练习运用数值计算软件Matlab进行数学实验，对问题中的各有关变量进行分析、计算，给出分析和预测结果。
⒊实验环境介绍
计算机房
⒋实验时数
16学时

实验一
⒈实验目的与要求
通过对具体实例的分析，学会运用初等数学建立数学模型的方法，掌握Matlab的基本使用方法和Matlab中编程方法及M文件的编写。
⒉实验内容
初等代数建模，图形法建模，静态随机性模型，量纲分析法建模等。学习和练习数值计算软件Matlab的基本方法。
⒊思考题
1) 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
2) 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
3) 原子弹爆炸的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v的表达式。
4) 掌握Matlab的基本使用方法，并试解以下问题：
(1) 至少用3种方法解线性方程组Ax = b，如矩阵除法、求逆矩阵法、矩阵三角分解法等。
(2) 用几种方法画简单函数的图形，并练习：考虑如何画坐标轴;在一个坐标系中画多条函数曲线; 用subplot画多幅图形; 图上加注各种标记等。
(3) 建立M-文件来计算：自然数n的阶乘; n中取m的组合数; 已知两个多项式(不一定同阶)的系数，求这两个多项式的和。

实验二
⒈实验目的与要求
通过对具体实例的分析，学会运用微分方程、变分法等数学方法建立确定性连续模型的方法。
⒉实验内容
微分法建模，微分方程建模，稳定性方法建模，变分法建模。学习和练习Matlab在微分方程等连续性模型中的应用。
⒊思考题
1) 在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。
(1) 设尾数n(t)的(相对)减少率为常数; 由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
(2) 用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量 表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t)。问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。
2)  药物动力学中的Michaelis-Menton模型为 表示人体内药物在时刻t的浓度。研究这个方程的解的性质。
(1) 对于很多药物(如可卡因)，a比x(t)大得多，Michailis-Menton方程及其解如何简化。
(2) 对于另一些药物(如酒精)，x(t)比a大得多，Michailis-Menton方程及其解如何简化。
3)  用Matlab求解以下问题：
(1) 用一台带记数器的录音机，实测一组时间t和转数n的数据，确定模型 中的系数a, b。
(2) 一椭球的三个半轴分别长4、3、2，求其表面积。
(3) 用欧拉方法和龙格-库塔方法求解以下微分方程，画出解的图形，并将结果与精确解进行比较：
(i)  ，精确解  ;
(ii)  ，
 精确解  。

实验三
⒈实验目的与要求
通过对具体实例的分析，学会运用差分方程、图论方法等数学方法建立确定性离散模型的方法。
⒉实验内容
差分方程建模，层次分明分析法建模，图论方法建模，逻辑方法建模。学习和练习Matlab中优化工具箱的应用。
⒊思考题
1) 用层次分析法解决一两个实际问题，例如:
(1) 学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。
(2) 你要购买一台个人电脑，考虑功能、价格等因素，如何作出决策。
(3) 为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。
(4) 你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔，用层次分析法进行决策。
2) 食肉动物C、食草动物H和草P组成生态系统，因为草地有限，草过密会使草的成长减慢。用带符号的有向图建立这个系统的冲量过程模型，并证明冲量过程是不稳定的。
3) 用最小距离意义下的选举规则研究投票问题。
(1) 如果以 最小为原则确定选举结果p，说明p可以是p1, p2或p3中任一个。
(2) 如果以 最小为原则确定选举结果p，说明p：x~y~z。
4) 用Matlab优化工具箱解线性和非线性规划问题：
(1) 求解线性规划
max   ,
s. t.     ,
   ,
   ,
   ,
   ,
   。
给出函数值和起作用约束。
(2) 求解二次规划
min   ,
s. t.    ,
   

实验四
⒈实验目的与要求
通过对具体实例的分析，学会运用概率分布方法、随机过程方法等数学方法建立随机性模型的方法。
⒉实验内容
概率分布方法建模，马氏链模型，随机服务模型。学习和练习Matlab中的概率统计工具箱的应用。
⒊思考题 
1) 某商店要订购一批商品零售，设购进价c1，售出价c2，订购费c0(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为c3(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？
2) 考察一种既不同于指数模型、也不同于阻滞增长模型的情况：人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到 时间内人口增长量与 成正比。
(1) 建立确定性模型，将结果作图，与指数模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
(2) 作出适当的假设，建立相应的随机模型，求出人口的期望，并解释其与(1)中的x(t)在形式上完全一致的意义。
3) 在酶促反应中，如果用指数增长模型 代替Michaelis-Menton模型对经过嘌呤霉素处理的实验数据作非线性回归分析，其结果将如何。更进一步，若选用模型 来拟合相同的数据，其结果是否比指数增长模型有所改进。试作出模型的残差图进行比较。
4) Matlab在方差分析和回归分析中的应用：
(1)  6种农药在相同的条件下进行灭虫试验，结果如下表(灭虫率以%计)，问它们的效果有无显著差异，需要作进一步比较吗。
农药A1 87 85 80  农药A2 90 88 87 94
农药A3 56 62   农药A4 55 48  
农药A5 92 99 95 91 农药A6 75 72 81 
 (2)  在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程如下表，试拟合一曲面，确定合适的模型，并由此找出最高点和该点的高程。
   x
 y 100 200 300 400
100 636 697 624 478
200 698 712 630 478
300 680 674 598 412
400 662 626 552 334