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从1870年开始，分析的概念框架发生了革命性的变化，最终导致了对诸如函数、连续性、可微性和可积性。
先前的观点认为，分析中的相关函数是由公式或其他“分析”表达式给出的，这些函数本质上是连续的（或几乎是连续的），这些函数必然对大多数点都有导数，而且这些函数可以通过公认的整合方法——所有这些想法都在该主题中出现的各种例子和问题的重压下开始让步，这些例子和问题不可忽视，需要理解新的概念。与这些发展相平行的是新的见解，这些见解既更加几何又更加抽象：对曲线的性质、曲线的可纠正性及其范围有了更清晰的理解；同时也是集合论的开始，从直线、平面等的子集开始，以及可以分配给每一子集的“度量”。
这并不是说，对改变这些进展所需要的观点没有多少阻力。自相矛盾的是，当时一些著名的数学家，那些本应最能欣赏新离任的人，却属于最持怀疑态度的人。新思想最终胜出，可以从现在可以解决的许多问题来理解。在这里，我们将不精确地描述几个最重要的此类问题。
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