欧拉公式与三角函数_欧拉公式推导三角函数

　　欧拉公式与三角函数

　　根据欧拉公式 1 ，可以轻易推出：

　　

　　三角函数定义域被扩大到了复数域。我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 X 方向，虚部是Y 方向，很容易观察出其几何意义。

　　

　　

　　欧拉公式推导三角函数

　　将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，并且有着广泛而重要的应用利用欧拉公式易得：

　　

　　因此，欧拉公式使指数函数和三角函数在复数域中实现了相互转化．近年来，欧拉公式已被广泛应用到初等数学和高等数学。本文将利用欧拉公式导出部分三角函数公式。

　　1、三角函数大降幂

　　高次幂的正余弦函数在计算上给我们带来诸多不便，利用欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，从而简化计算。

　　1.1 余弦大降幂由式（2）易得：

　　

　　

　　1.2正弦大降幂由式（3）及式（2）易得：

　　

　　

　　以上所得到的降幂公式（４）（６）（８）（１０）皆与数学手册［８］中给出的降幂公式完全一致

　　2 、导出三角函数多倍角公式

　　根据欧拉公式（１），一方面有：

　　

　　

　　

　　以上所得到的多倍角公式（１４）（１５）和（２０）（２１）也与数学手册［８］中完全一致。

　　3、导出和差化积公式文［３］利用欧拉公式导出了两角和（差）的正、余弦公式

　　

　　

　　4、导出积化和差公式利用欧拉公式易得

　　

　　

　　5、结束语

            在数学历史上有很多公式都是欧拉发现的，它们都叫做欧拉公式，且分散在各个数学分支之中，复变函数论里的欧拉公式是最著名的欧拉公式之一．三角函数公式众多，类型纷繁、灵活，这给解决三角变换问题带来了诸多不便，本文通过欧拉公式来推导得出的结论，不仅可以使计算方便，也有很多理论上的意义．