关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系

关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系 

对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着一定的联系。

对于图7-5-1所示的有向图，选支路1、2、3为树支，作单树支割集如图所示，则可写出其基本回路矩阵与基本割集矩阵如下：

图 7-5-1

 

用左乘，可得：

即有：

        （7-5-1）

由矩阵性质可得另一形式为：

        （7-5-2）

此二式反映了相同编号的网络中，基本割集矩阵与基本回路矩阵之间的关系。

对于式7-5-1的一般证明可简略描述如下：令，则D中任一元素为，下标j表示第j条单连支回路，k表示第k个割集，而则表示把第j回路中i支路元素与第k割集中i支路元素相乘。显然，若i支路不是同时包含在j回路与k割集中，则其乘积必为零。而同时包含在j回路与k割集中的支路条数必为偶数。因为若移去k割集的所有支路，则电路分为独立的两部分。若闭合回路跨越两部分电路，显然其连接两部分的支路条数（包含在k割集中）必为偶数条。例如对于图7-5-1所示的网络，同时包含在割集1与回路1（由支路4组成的单连支回路）中的支路为4与1。

对于成对出现在回路和割集中的支路，如果二条支路方向与回路一致，（此时对应行中二个元素同号），则该二条支路与割集方向必一正一反（此时对应行中二个元素异号），则的值必为零。反之，若二条支路方向与回路方向一正一反，则相对于割集方向必同号，其乘积亦为零。可见矩阵D中元素均为零，从而可推出式（7-5-1）。

若网络支路编号严格按先树支后连支编排，则式（7-5-1）可写为：

即有：

         （7-5-3）

式中，表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。

对于图7-5-1的电路，若设节点4为参考节点，写出它的关联矩阵为：

用A左乘，得：

即有：

 （7-5-4） 或   （7-5-5）

实际上若选择割集只包围一个节点，且割集方向离开节点，则这样组成的割集即为关联矩阵A，即是说关联矩阵无非是割集矩阵的一种形式。由式（7-5-1）即可知式（7-5-4）成立。

如果支路编号按先树支后连支方式，则关联矩阵可表示为，其中表示由所有树支元素组成的子矩阵，表示由连支元素组成的子矩阵。式（7-5-4）可描述为：

上式左乘，可得：

即有：

    （7-5-6）

据此，基本回路矩阵可写成：

     （7-5-7）

从该表达式可见，对于一个支路编号采用先树支后连支方式的电路，其基本回路矩阵可通过关联矩阵求得。

同理，由式（7-5-3）及式（7-5-6）可得，，因此基本割集矩阵又可表达为：     （7-5-8）

由式可知，基本割集矩阵可由关联矩阵求得。

当采用计算机辅助计算建立状态方程时，直接写回路矩阵或割集矩阵往往比较困难，而推求关联矩阵却很方便。因此在实际应用时往往由关联矩阵通过式（7-5-7）和式（7-5-8）求得回路矩阵与割集矩阵。