SI滤波器实现小波变换

摘要：文中在应用对数域电路的基础上，提出了一种新型的连续小波变换方法，它通过对母小波的一种数值逼近得到小波函数的有理公式，并以Marr小波为例来模拟这个逼近过程，并用Matlab对逼近过程进行仿真。仿真结果显示，该研究成果为实时小波信号处理提供了新的途径，拓宽了集成电路的应用范围。
关键字：对数域积分器；小波变换；滤波器；低电压；低功耗

小波变换作为时一频分析方法，能聚焦到信号时段和频段的任意细节，具有“自适应性”和“数学显微镜”的美誉而得到越来越多的重视，成为信号处理、图像压缩和模式识别等众多领域中一个非常有效的数学分析工具。开关电流集成电路电路作为新型的模拟电路，运行在电流模式状态下，具有低电压、低功耗的特点。
   

基于以上现状，用开关电流技术实现连续小波变换是一个非常好的选择。本文采用对数域积分器代替滤波器中的积分单元，其研究成果为实时小波信号处理提供了新的途径，同时也拓宽了集成电路的应用范围。

1 小波变换实现过程
    连续小波变换的实现可以简要概括为：仿真母小波φ(t)并使用它来实现滤波器电路。该方法的实现取决于小波函数类型。本文以Marr小波为例，它可由麦可劳林公式逼近得到，但是同样可以获得可选择的传递函数。
1．1 小波变换
    设信号x(t)是平方可积函数，φ(t)是被称为基本小波或母小波的函数，则：
   
    (1)式称为x(t)的小波变换，其中a>O是尺度因子，b反映位移，其值可正可负。从定义上看，小波变换相当于信号x(t)与
的卷积。一个滤波器电路的输出是滤波器脉冲响应与输入信号卷积，因此，实现对信号的CWT可以使信号通过滤波器来实现。
1．2 小波函数的逼近实现
    这里以Marr小波(见图1)为例来研究小波函数的实现方法，它的时域表达如下式所示：

   

 它的傅立叶变换如(3)式所示：
   
    信号x(t)在尺度α下的CWT可以通过转移函数为H(jω)的滤波器来实现。然而，从图1可以看出有两个问题需要解决，首先，φ(t)是关于t=0对称的，因此它是非因果的，任何滤波器的脉冲响应在右半平面有极点将会不稳定，为了能够使其稳定，给一个时间延迟T。 其次，令S=jω，转移函数转换为：
     
     公式中分母为指数形式，这样传输函数就不能由只能实现有理的和有限次传输函数的标准滤波器来实现。为了是传输函数有理化，通过使用麦克劳林公式来近似逼近指数函数：
   
    这样就可以使要求的传输函数停制稳定的实现。为了实现小波设计过程，要选定合适的尺度α、时间延迟T和滤波器的阶数，这些因素都是相关的。
1．3 传输函数直接型表达式
    从直接型表达式中可以看出，它符合LC原型滤波器的表达形式。当前，LC滤波器的研究已经相当成熟，可以通过它来间接的实现具有此传输函数的滤波器。
    当α=0.01，T=0.4时，(6)式的直接型如下式：
   
2 原型滤波器及其信号流图
2．1 原型滤波器
    原型滤波器为5阶切比雪夫低通LC梯形滤波器，截止频率为100kHz，纹波宽度为1dB。如图2所示。

 

2．2 信号流图
    原型滤波器如图2所示，设电容C1、C2、C3上的电压为V1、V2、V3、电感L1、L2上的电流为I1、I2，可得到该滤波器的状态方程组为：
    

    
    根据此方程组，可得该原型滤波器的信号流图如图3所示。

2．3 对数域信号流
    为了利用线性电路滤波器的设计技术实现对数域滤波器，将对数域电路表示成一个线性电路和指数运算与对数运算电路的组合。如图4所示，图中，Vi为输入信号，Vo为输出信号，虚线框内包括三个部分，指数运算将输入电压变换为其指数，线性电路处理的是这个表示成指数的信号，处理结果经对数电路将表示成指数的输出电压变换为输出电压。显然，整个电路为一对数域电路。

 

    利用对数电路线性化的方法将其变换成用对数域电路实现的信号流图，即在每个积分器后面加入一个Log运算，在输入到相加器前加入一个Exp运算，如图5所示。

3 对数域滤波器的实现
    将信号流图中的积分部分用对数域同相积分器或反相积分器来替换，从而实现整个滤波器电路，滤波器电路图如图6所示。

    对数域滤波器的仿真结果如图7所示，从图中可以看出，DB取值较低，但是符合低通特性，能满足设计的要求。

4 结束语
本文把小波变换的实现转换成小波滤波器的实现，用对数域积分器实现该小波滤波器是设计的整体思路，从仿真结果来看能够实现，从而达到了设计的目的，为小波变换的实现提供了新的途径。