自动控制系统的设计--控制系统设计的基本思路--串连校正装置

自动控制系统的设计

6.1 控制系统设计的基本思路

如前所述，一个单输入单输出的控制系统一般可化为图6－1的形式，G0(s)是控制系统的不可变部分，即被控对象，H(s)为反馈环节。未校正前，系统不一定能达到理想的控制要求，因此有必要根据希望的性能要求进行重新设计。在进行系统设计时，应考虑如下几个方面的问题： （1） 综合考虑控制系统的经济指标和技术指标，这是在系统设计中必须要考虑的。 （2） 控制系统结构的选择。对单输入、单输出系统，一般有四种结构可供选择：前馈校正、串联校正、反馈校正和复合校正，其框图如图6－2。考虑到串联校正比较经济，易于实现，且设计简单，在实际应用中大多采用此校正方法，因此本章只讨论串联校正，典型的校正装置有超前校正、滞后校正、滞后－超前校正和PID校正等装置。 （3） 控制器或校正装置的选择。校正装置的物理器件可以有电气的、机械的、液压的和气动的等形式，选择的一般原则是根据系统本身结构的特点、信号的性质和设计者的经验，并综合经济指标和技术指标进行选择。本书我们以电气校正装置作为控制器，详述有源和无源装置的工作原理和设计方法。其思想方法同样适用于其它类型的校正装置设计。 （4） 校正手段或校正方法的选择。究竟采用时域还是频域方法，须根据控制系统性能指标的表达方式选择。控制系统的性能指标通常包括动态和静态两个方面。动态性能指标用于反应控制系统的瞬态响应情况，它一般可用时域性能指标和频域指标两个方面：1）时域性能指标：调整时间ts 、上升时间tr 、峰值时间tp 和最大超调量 Mp等；2）频域性能指标：开环指标包括相位裕量γ 、增益裕量Ag ；闭环指标包括谐振峰值Mr 、谐振频率ωr 和频带宽度ωb等。 在进行系统设计时，若所使用的指标是时域指标，则一般宜用根轨迹法进行设计，使闭环系统的极点重新配置；若所使用的指标是频域指标，宜用频率法（如伯德图或极坐标）进行设计。 最后需要指出，由于电子技术和计算机技术的发展，目前实际系统中大量采用的控制器是有源校正装置，如典型的PID调节器，但正如下文大家将看到的，无源校正与有源校正尽管组成形式有差别，但它们的工作原理是相同的。 图6-2控制系统校正的几种方式

串连校正装置的结构与特性

前面介绍了校正装置的结构形式。为了满足不同系统的控制性能要求，串联校正装置可设计成相位超前校正、相位迟后校正和和相位迟后－超前校正形式。本节首先介绍此三种装置的无源和有源网络结构，然后在此基础上介绍频率校正原理和MATLAB的设计方法。而关于串联校正装置的根轨迹方法则在下一节介绍。 6.2.1 超前校正 如前所述，为满足控制系统的静态性能要求，最直接的方法是增大控制系统的开环增益，但当增益增大到一定数值时，系统有可能变为不稳定，或即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。为此，需在系统的前向通道中加一超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，然后分别介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。 （一）超前校正装置 图6-3 超前校正装置 （a） 无源校正装置 （b）有源校正装置 图6－3分别为无源和有源超前校正网络。对于无源校正装置(a)，忽略该网络的输入阻抗和输出阻抗效应，则其传递函数为： (6-1) 式中， , 上式另一常见形式可写作： (6-2) 式中， , 对于有源校正装置(b)，其对应的传递函数为： (6-3) 式中， 。 负号是因为采用了负反馈的运算放大器，再串联一只反相运算放大器即可消除负号。 在式（6－3）中，令R1C=T1,R2C=T2 ，则（6－3）可写成如下形式： (6-4) 上式即为实际的比例微分控制器（PD）的传递函数的表达式。 超前校正装置的零、极点分布如图6－4所示，由于β>1 ，故 Gc(s)的零点总在其极点的右侧。由式（6－1）和式（6－2）可知，在采用超前校正网络时，系统的开环增益会有1/β （或k ）倍的衰减。对此，用放大倍数β 或（1/k）的附加放大器予以补偿。经补偿后，令α=1/β ，其传递函数 ， 频率特性为: (6-5) 与式（6－5）对应的幅频特性的表达式分别为： (6-6) (6-7) 其相应的极坐标如图6－5。由图可见，超前校正装置的极坐标是一个位于第一象限的半圆，圆心坐标 [(1+1/α)/2,j0],半径为 (1/α-1)/2,从坐标原点到半圆作切线，它与正实轴的夹角即为该校正装置的最大超前角φm ，且有： (6-8) 此最大超前角对应的频率可由式（6－7）得到。令dφ(ω)/dω=0,则有： (6-9) 对式（6－6）的幅频特性取对数坐标，有： (6-10) 根据式（6—7）、（6—10），可令 ，利用如下Matkab语句作出它的伯德图，如图6—6所示。 图6—6 alpha=0.1; T=1; Gc=tf([T,1],[alpha*T,1]); [x0,y0,w]=Bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w); subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y) subplot(212),semilogx(w,y0(:)) 由式（6—7）可知，由于α<1，因而当 0<ω<∞时，校正网络的相位总是正值。这明输出信号在相位上总超前于输入信号一个角度，因而称该校正网络为超前校正。同时，由于当ω→0，L(ω)→0 ；当ω→+∞时，L(ω)→最大值20lg(1/α) ，所以超前校正装置又是一个高通滤波器。 比较图6－4和图6－5可见，ωm是Gc(s)零点和极点的几何平均值。理论上，最大相位超前角φm不大于90°，但实际上，一般超前校正网络的最大相位超前角φm不大于65° 。如果要得到大于65°的相位超前角，可用两个超前校正网络相串联来实现，并在串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。 6.2.2 迟后校正 与超前校正相反，如果一个控制系统具有良好的动态性能，但其静态性能指标较差（如静态误差较大）时，则一般可采用迟后校正装置，使系统的开环增益有较大幅度的增加，而同时又可使校正后的系统动态指标保持原系统的良好状态。 (一) 迟后校正装置 无源的迟后校正装置可由图6—7（a）构成。由图可得到该校正装置的传递函数 (6-11) 式中， , 有源的迟后校正装置由图6－7（b）构成。其传递函数为： (6-12) 式中， Ti=R2C,k=R2/R1，同样等式右边的负号可通过串联一反相器加以抵消，因而（6－12）可改写为比例积分控制器PI的形式： (6-13) （二）迟后校正装置的极点及频率特性 由式（6－11）可分别得到该迟后校正装置的零、极点分布图（6—8）、极坐标图（6—9）、伯德图（6—10） 图6—7 图6—8 图6—10 图中， , 比较超前校正装置和迟后校正装置可以发现，迟后校正装置具有如下特点： 1）输出相位总滞后于输入相位，这是校正中必须要避免的； 2）它是一个低通滤波器，具有高频率衰减的作用； 3）利用它的高频衰减作用（当 ），使校正后系统剪切频率 前移，从而达到增大相位裕量的目的。 6.2.3 迟后－超前校正 (一) 迟后－超前校正装置 上图构成了迟后－超前的无源和有源装置，无源校正装置的传递函数为： (6-14) 上式中，令：T1=R1C1,T2=R2C2,T1/β+βT2=R1C1+R2C2+R1C2,β>1,且令 T2>T1。同时，上式也可改写成如下形式： (6-15) 其中前半部分起超前作用，后半部分起迟后作用。 同理，有源校正装置的传递函数为： (6-16) 显然，有源迟后－超前校正装置的传递函数同时是一个典型的PID控制器，式中：KP为比例系数，Ti 积分时间常数，Td为微分时间常数。 （二）迟后－超前校正装置的极点及频率特性 根据迟后－超前装置的传递函数，可得到其频率特性： (6-17) 其对应的幅频特性和相频特性分别为： (6-18) 图6—14 (6-19) 根据上面二式可分别画出其零、极点分布图、极坐标图、伯德图。从图中看出，因 T2>T1，迟后部分的零极点更靠近原点，使系统的静态性能得到改善。 从图6－13和6－14可以看出当ω从0→ω1 变化时，迟后－超前校正装置起超前作用，而当ω从ω1→∞ 变化时，校正装置起迟后作用。由下列Matlab语句可得到其伯德图： alpha=[0.1:0.1:0.5]; T1=1;T2=5; Gc=tf([T1,1],[alpha*T1,1])*tf([alpha*T2,i],[T2,1]); [x0,y0,w]=bode(Gc);[x,y]=bode_asymp(Gc,w); subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y) subplot(212),semilogx(w,y0(:)) 同时，容易计算相角为零的频率ω1 为： (6-20) 可见，迟后－超前校正装置是超前装置和迟后装置的组合。