状态变量过滤器电路运算公式和函数频率案例及设计深度摘要

状态变量滤波器是一种多反馈滤波器电路，可以产生所有三种滤波器响应，低通，高通来自同一个有源滤波器设计的带通。

状态变量滤波器使用三个（或更多）运算放大器电路（有源元件）级联在一起产生单个滤波器输出，但如果需要，还可以添加一个额外的求和放大器，以产生第四个陷波滤波器输出响应。

状态变量滤波器二阶RC有源滤波器由两个相同的运算放大器积分器组成，每个积分器用作一阶单极点低通滤波器，一个求和放大器，我们可以围绕它设置滤波器增益及其阻尼反馈网络。来自所有三个运算放大器级的输出信号被反馈到输入端，允许我们定义电路的状态。

状态变量滤波器设计的主要优点之一是所有三个过滤主要参数，增益（ A ），转角频率，ƒ C ，过滤器 Q 可以调整或在不影响滤波器性能的情况下独立设置。

实际上如果设计正确，-3dB转角频率（ƒc）指向低通幅度响应和高通幅度响应应与带通阶段的中心频率点相同。即ƒ LP（-3dB） 等于ƒ HP（-3dB） 等于ƒ<子> BP（中心） 。此外，带通滤波器响应的阻尼因子（ζ）应等于1 / Q，因为Q将设置为-3dB，（0.7071）。

虽然滤波器提供低通（LP），高通（HP）和带通（BP）输出这类滤波器电路的主要应用是作为状态可变带通滤波器设计，其中心频率由两个RC整数设定。 / p>

虽然我们之前已经看到带通滤波器的特性可以通过简单地将低通滤波器与高通滤波器级联在一起来获得，但状态可变带通滤波器的优势在于它们可以被调谐到高度选择性（高Q值）在中心频率点提供高增益。

有几种状态可变滤波器设计可用，所有这些都基于标准滤波器设计，可提供反相和非反相变化。但是，基本滤波器设计对于两种变化都是相同的，如下面的框图表示所示。

状态变量滤波器框图

然后我们可以从上面的基本框图中看到状态变量过滤器有三个可能的输出，V HP ，V BP 和V LP ，三个运算放大器各一个。通过增加第四个运算放大器也可以实现陷波滤波器响应。

通过恒定输入电压，V IN ，求和放大器的输出产生高通响应也成为第一个RC积分器的输入。该积分器的输出产生带通响应，该响应成为第二个RC积分器的输入，在其输出端产生低通响应。因此，可以找到每个输出相对于输入电压的单独传递函数。

因此，基本的非反相状态变量滤波器设计如下：

状态可变滤波器电路

并且状态变量滤波器的三个输出的幅度响应将看起来像：

状态变量过滤器的归一化响应

其中一个主要状态变量滤波器的设计元素是它使用两个运算放大器积分器。正如我们在积分器教程中看到的那样，运算放大器集成器在其反馈环路中使用电容形式的频率相关阻抗。使用电容时，输出电压与输入电压的积分成正比，如图所示。

运算放大器积分电路

为了简化数学运算，这也可以在频域中重写为：

输出电压 Vout 是一个常数 1 / RC 乘以输入电压的积分 Vin 与时间有关。积分器产生相位滞后，负号（ - ）表示180° o 相移，因为输入信号直接连接到运算放大器的反相输入端。

对于上面的运算放大器 A2 ，其输入信号连接到前一个运算放大器的输出， A1 所以它的输入以 V HP 给出，其输出为 V BP 。然后从上面，运算放大器 A2 的表达式可写为：

然后通过重新排列此公式，我们可以找到反转积分器的传递函数， A2

运算放大器A2传递函数

完全相同的假设可以如上所述找到其他运算放大器积分器的传递函数， A3

运算放大器A3传递函数

所以两个运算放大器集成商 A2 和 A3 级联连接在一起，所以第一个输出（ V BP ）成为第二个的输入。因此我们可以看到带通响应是通过积分高通响应产生的，低通响应是通过积分带通响应产生的。因此， V HP 和 V LP 之间的传递函数如下：

请注意，每个积分器级都提供反相输出，但总和输出为正，因为它们是反相积分器。如果使用与 R 和 C 完全相同的值，使得两个电路具有相同的积分器时间常数，则可以将两个放大器电路视为具有一个单个积分器电路转角频率ƒ C 。

除了两个积分电路外，滤波器还有一个差分求和放大器，提供其加权求和投入。这里的优点是求和放大器的输入 A1 将振荡反馈，阻尼和输入信号组合到滤波器，因为所有三个输出都被反馈到求和输入。

放大器求和电路

运算放大器， A1 作为加法器 - 减法器连接电路。也就是说它将输入信号 V IN 与运算放大器的 V BP 输出相加A2 并从中减去运算放大器 A3 的 V LP 输出，因此：

和

作为差分输入，运算放大器的 + V 和 -V 是相同的，即： + V - V ，我们可以重新排列上面的两个表达式找到 A1 输出的传递函数，高通输出。

我们从上面知道， V BP 和 V LP 是两个积分器的输出， A2 和 A3 。通过将 A2 和 A3 的积分器方程代入上式，我们得到状态变量滤波器的传递函数为：

状态变量过滤传递函数

我们之前说过状态变量过滤器产生三个过滤器响应，低通，高通和带通，带通响应是一个非常窄的高Q滤波器，这很明显在上面的SVF传递函数中，因为它类似于标准的二阶响应。

归一化的二阶传递函数

滤波器转角频率，ƒ C

如果我们使积分器的输入电阻和反馈电容相同，那么状态变量滤波器转角频率可以轻松调整情感总体 Q 。同样，可以在不改变转角频率的情况下改变 Q 的值。然后转角频率为：

状态可变滤波器转角频率

如果我们使反馈电阻 R3 和 R4 相同的值，那么从状态变量滤波器输出的每个滤波器的转角频率成为：

然后通过改变调谐电阻器来完成状态变量转角频率的调节， R 或电容， C 。

状态变量滤波器的特点不仅在于它们各自的输出响应，还在于滤波器“Q “，品质因素。 Q 与带通滤波器幅度响应曲线的“锐度”有关， Q 越高，输出响应越高或越尖锐，导致滤波器具有高选择性。

对于带通滤波器， Q 定义为中心频率除以滤波器-3dB带宽，即 Q =ƒc/ BW 。但 Q 也可以从上述传递函数的分母中找到，因为它是阻尼因子（ζ）的倒数。然后 Q 给出为：

状态变量过滤器的Q因子

同样，如果电阻 R3 且 R4 相等且两个积分器组件 R 且 C 相等，则最终的平方根表达式将减少为：√ 1 或简单地 1 ，因为分子和分母相互抵消。

状态变量过滤器示例No1

设计一个状态变量过滤器，它有一个角（自然无阻尼）频率，ƒ C 1kHz，品质因数 Q 为10.假设频率确定电阻和电容相等。确定滤波器的直流增益并绘制得到的电路和波特图。

我们上面说过，如果电阻器 R 和反馈电容器， C 是相同的值，即 R = R 和 C = C ，滤波器的截止或转角频率点简单地给出：

滤波器的拐角频率

我们可以为电阻器或电容器选择一个值来查找值另一个。如果我们为电容器假设一个合适的 10nF 值，那么电阻器的值将为：

给予 C = 10nF 且 R =15.9kΩ，或16kΩ到最接近的首选值。

的值> Q 以10给出。这与滤波器阻尼系数有关：

在上面的状态变量传递函数中，2ζ部分是取而代之的是电阻器组合给出：

我们从上面知道 R =16kΩ和 C = 10nF ，但如果我们假设两个反馈电阻 R3 且 R4 相同且等于10kΩ，那么上面的等式减少到：

假设输入电阻值合适， R1 表示 1kΩ，然后我们可以找到 R2 的值，如下所示：

从标准化传输上面的函数，DC通带增益定义为 A o ，并且从等效状态变量滤波器传递函数，这相当于：

SVF滤波器DC通带增益

因此滤波器的直流电压增益计算为1.9，基本上等于 R2 / R3 。此外，ƒ C 时滤波器的最大增益可以计算如下： A o xQ ，如下所示。

SVF滤波器最大增益

状态变量滤波电路

然后是国家的设计可变滤波器电路将： R =16kΩ， C = 10nF ， R1 =1kΩ， R2 =19kΩ和 R3 = R4 =10kΩ如图所示。

状态变量滤波器设计

我们现在可以在1到1MHz的频率范围内绘制状态变量滤波器电路的各个输出响应曲线到波特图上，如图所示。

状态变量滤波器波特图

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然后我们从上面的滤波器响应曲线可以看出，滤波器电路的直流增益为5.57dB这相当于开环电压增益， A o 或1.9，如上所述。该响应还表明，由于Q的值，输出曲线在拐角频率处的最大电压增益达到峰值25.6dB。由于 Q 还将带通滤波器中心频率与其带宽相关联，因此滤波器的带宽将为： f o / 10 = 100Hz 。

我们在这个状态变量过滤器教程中已经看到，我们可以使用多反馈技术来产生所有三个滤波器响应，而不是产生一种频率响应的有源滤波器。 ，低通，高通和带通同时来自同一个有源滤波器设计。

但同样如在三个基本滤波器响应中，我们可以在上面的基本状态变量滤波器设计中添加一个额外的运算放大器电路，以产生类似于标准陷波滤波器的第四个输出响应。

陷波滤波器设计

陷波滤波器滤波器基本上与带通滤波器相反，因为它拒绝或停止特定频段。然后陷波滤波器也称为“带阻滤波器”。为了从基本状态可变滤波器设计中获得陷波滤波器的响应，我们必须使用另一个运算放大器求和放大器 A4 将高通和低通输出响应加在一起，如图所示。

陷波滤波器电路

这里为了简单起见我们假设两个输入电阻， R5 和 R6 以及反馈电阻 R7 都具有相同的10kΩ值，与对于 R3 和 R4 。因此，这使陷波滤波器的增益为1，单位。

陷波滤波器和带通滤波器的输出响应与带通响应的中心频率相关，等于陷波滤波器的零响应点，在本例中为1kHz。

此外，陷波的带宽由电路 Q 确定，与通带响应完全相同。因此，向下的峰值等于中心频率除以-3dB带宽，即陷波两侧-3dB点之间的频率差。请注意，品质因数 Q 与陷波的实际深度无关。

这种基本的陷波滤波器（带阻）设计只有两个输入应用于其求和放大器，低通输出， V LP 和高通输出， V HP 。但是，我们还有两个信号可用于基本状态变量滤波器电路，带通输出， V BP 和输入信号本身， V IN 。

如果这两个信号中的一个也用作陷波滤波器求和放大器的输入以及低通和高通信号，那么可以控制陷波的深度。

根据您想要如何控制陷波滤波器部分的输出，将取决于您将使用的两个可用信号中的哪一个。如果需要在无阻尼固有频率ƒ o 时输出陷波从负响应变为正响应，则带通输出信号 V BP 将被使用。

同样，如果要求输出陷波仅在其向下负深度变化，则输入信号 V 。如果通过可变电阻器将这两个附加信号中的任何一个连接到运算放大器求和放大器，则可以完全控制陷波的深度和方向。考虑下面修改的陷波滤波器电路。

可变陷波滤波器深度

状态变量滤波器摘要

状态可变滤波器，（SVF）电路是一种二阶有源RC滤波器设计，它使用多种反馈技术产生三种不同的频率响应输出，即：<来自同一个过滤器的em> Low Pass ， High Pass 和 Band Pass 。状态变量滤波器优于其他基本滤波器设计的优点是可以独立调整三个主要滤波器参数：增益， Q 和ƒc。

我们在这里也看到过滤器也很容易调整，因为转角频率ƒc可以通过改变 R 或 C来设置和调整不影响滤波器阻尼系数。但是，在较高的转角频率和较大的阻尼系数下，滤波器会变得不稳定，因此最好在低 Q ，小于10和低转角频率下使用。

基本状态可变滤波器设计使用三个运算放大器部分来产生其输出，但我们也看到，通过增加第四个运算放大器部分将低通和高通部分相加，一个陷波（带阻）滤波器输出响应也可以在所需的中心频率下实现。