离散傅里叶变换DFT中的第5个问题：频域抽样进行总结

继续上一篇，本文对离散信号的频域分析（共5节）中的第3节——离散傅里叶变换DFT（Discrete- Fourier Transform）中的第5个问题：频域抽样进行总结。

3.5 频域抽样

实际上，DFT，就是频域抽样。包括三个问题，这三个问题环环相扣、层层推进。

1、DFT与DTFT、z变换的关系

先从公式上看三个变换的关系，再结合z平面的单位圆的概念，从图形上理解。如下图：

图1

图2

毫无疑问，DFT的自变量k为离散的，而DTFT的自变量w、以及z变换的自变量z都是连续变量。DFT是两外两种变换的离散采样值。因为这种采样是在频域，所以称为”频域采样“。

那么问题来啦：

不管在那个域进行抽样，其数学本质都是用一些离散的数值代替原来连续变化的函数，或者说用一些离散的点代表原来连续的曲线。能不能代表？取决于两个因素：一是这些离散的点的间隔，即抽样间隔；二是原来那条连续曲线的变化起伏程度。这就是第二个问题：频域抽样定理。

2、频域抽样定理

傅里叶分析方法的好处在于，建立起时域和频域的一种重要的对应关系：一个域离散抽样，另外一个域周期延拓。所以，研究时域抽样时，把问题对应到频域上去研究；那么现在研究频域抽样时，又要把问题对应到时域上去研究。毫无疑问，时域上会周期延拓。如下图：

图3

既然是以N为周期延拓，条件自然而然就出来了：

图4

也就是说，只要满足频域抽样定理的条件，频谱离散的抽样值X(k)可以完全表征连续频谱X(e^jw)或者X(z)。

问题又来了，怎么表示？这就是第三个问题：频域的插值恢复。

3、频域的插值恢复

与时域抽样的恢复完全相同的思路，用离散的样本值乘以一个插值函数，得到一个连续的函数，只不过这里的插值函数是关于w或z的函数。下面的任务就是找这个函数fai(w)或fai(z)。

图5

z变换的形式更为简洁，因此首先解决由X(k)得到X(z)的问题。

以下推导过程的大致思路：把z变换定义式中的x(n)用IDFT的公式替换，然后交换求和次序，再利用旋转因子的性质，即可得到。如下图：

图6

解决了由X(k)得到X(z)的问题，将z换成e^jw，自然就得到了X(e^jw)。如下图：

图7

把内插公式和内插函数总结如图8，这个内插函数的幅度部分的图形我们可以画出来，我们发现，它在一些固定的位置（2Π/N的整数倍处）是零，而2Π/N恰好是频域抽样时的间隔，这是巧合吗？显然不是，这是必然的。

图8

我们把内插公式展开来看，如图9所示。也就是说，把各个频域抽样值X(k)与做相应平移后的内插函数（平移2Π/N的k倍）相乘，再相加，就得到连续的频谱函数X(e^jw)。与第k个抽样值相乘的内插函数，在所有其他抽样点处刚好是零点，只有在第k个抽样点处的值不为零（值为1）。所以，重建后的这个连续函数，在每个抽样位置（也就是2Π/N的整数倍）上的值，就等于X(k)这一点的值，不需要任何其他抽样值参与；而在两个抽样点之间的值（没抽到的地方），需要所有抽样值来参与共同构成。

图9

这个问题的理解，与“时域抽样后信号的重建”问题是一样的。但有的同学可能会说，时域抽样后信号的重建，我记得是通过理想低通滤波器来推导出重建的内插公式，这里怎么不是呢？