离散信号的频域分析——离散傅里叶变换DFT

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继续上一篇，本文对离散信号的频域分析（共5节）中的第3节——离散傅里叶变换DFT（Discrete- Fourier Transform）中的第4个问题：3.4 DFT性质中的后两个进行讲解。

3.4 DFT的性质

以下四个性质，上一篇中已经学习了前两个，本文对前后个性质——圆周共轭对称性、Parseval定理进行讲解。

3、圆周共轭对称性

这里不讲证明（教材上都有），重点讲怎么理解教材上让人眼花缭乱的公式。我们把“公式”翻译成“人话”。

首先说明一下，本文中所说的N点长序列，都指的是自变量取值范围为0~N-1，除此之外的区间，序列值为0。

先看第一个。

（1）共轭序列的DFT

时频域有这样一个基本对应关系——时域取共轭，对应频域自变量取负然后函数取共轭。具体到DFT呢？“自变量取负”也就是“反转”，而“DFT隐含着周期性”，所以这里的“反转”要加上“周期延拓，再取主值区间”，所以，公式及证明过程如下：

图1

时域取共轭，对应DFT是：先周期延拓，再反转，再取主值区间，最后取共轭。当然，第一步与第二步可以交换次序，取共轭可以放在任意步骤上。关键是理解这个操作用公式的三种描述方式（上图中画红线处）

第一种：X*((-k))NRN(k)，是最直观地展现上述过程的；

第二种：X*((N-k))NRN(k)，可以认为是利用其周期性（周期延拓得到的当然是以N为周期的啦），把-k换成了N-k；

第三种：去掉了双括号，也去掉了RN(k），好像看不出“周期延拓”和“取主值区间”的操作了。大家会心存疑虑，这个等号成立吗？

我们用下图的例子来说明一下这个等号成立，为了画图的方便，我们用函数值为实数的情况，图中是以n为自变量，换作k当然也是一样的。

图2

x(N-n)可以看作简写形式，优点在于形式简洁明了，缺点在于掩盖了周期延拓再取主值的过程。用这种简写形式，要注意一点，N点长序列x(n)，n的取值范围为0≤n≤N-1，也就是说，本来应该x(N)=0。但是，此处，当n=0时，x(N-n)=x(N)，不能认为x(N)=0，而要认为x(N)=x(0)。也就是说，要把x(n)的这N个点，认为是周期序列的主值区间，那么x(N)就是下一个周期的第一个点，所以x(N)=x(0)。

用这种简写形式来描述这个性质，就是：时域取共轭，对应的DFT，相当于把序号k与序号N-k做一个互换，然后取共轭。

下面，看这个性质的两个推论。

（2）第一个推论：实序列的DFT是圆周共轭对称序列。

图4

（此处省略若干公式）

”圆周共轭对称“是个什么鬼？

我们按照以下几步来解释一下：

第一步：从“偶对称、奇对称”到“共轭对称/共轭反对称”

偶对称/奇对称地球人都知道吧。共轭对称/反对称就不是地球人都知道了，大学生才知道。

对于实函数x(n)，如果x(-n)=x(n)，称之为偶对称，x(-n)=-x(n)称之为奇对称。

扩展到复函数x(n)，如果x*(-n)=x(n)，称之为共轭对称，x*(-n)=-x(n)称之为共轭反对称。

第二步：从“共轭对称”到“圆周共轭对称”

圆周共轭对称的定义：对于N点长序列x(n)，如果x(n)=x((N-n))NRN(n)，或者用简写形式：x(n)=x(N-n)，那么称之为“圆周共轭对称”。

可以理解为：把x(n)放在一个圆周的N个等分点上，或者说把横轴掰弯，弯成一个圆（n=N-1与原点重合），则这N个序列值关于原点对称，或者说关于N/2也对称。如下图所示。

图5

我们前面求解过的例题：5点矩形脉冲的DFT，如下图，也体现出圆周偶对称的特点。

图6

（3）第二个推论：实部/虚部与圆周共轭对称/反对称分量的关系

首先解释一下什么叫圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量。需要经过以下几步循序渐进的理解。

第一步：函数可以分解为偶分量+奇分量

图7

第二步：从“偶分量/奇分量”到“共轭对称分量/共轭反对称分量”

把（1）式中的x(-n)改为x*(-n)即可

图8

以上两式，无论是对无限长序列，还是有限长序列，都是适用的。如果x(n)为N点长，并且0≤n≤N-1，那么xe(n)和xo(n)是2N-1点长，并且-(N-1)≤n≤N-1。

第三步：改造成适合DFT的

凡是涉及到自变量取负（也就是反转）的，都加上“周期延拓，再取主值区间”的操作。也就是把（2）式中的x(-n)改为x((N-n))NRN(n)，用简写形式表示就是x(N-n)

因此，得到圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量的定义：

图9

注意，前提是x(n)为N点长序列，并且n的范围是0≤n≤N-1，圆周共轭对称/反对称分量的长度仍是N，n的范围也不变。而且如前所述，n=0时，x(N-0)=x(N)=x(0)。

上面，是以x(n)为例，同样，对于DFT X(k)，也可以定义圆周共轭对称/反对称分量，不再赘述。

解释完这些，我们的核心公式就出来啦（证明过程省略，直接看结论）。

序列 x(n)及其DFT的实部/虚部与圆周共轭对称/反对称分量之间的关系 ，见下图：

图10

（此处省略若干公式）

翻译成人话（绕口令）就是：

序列实部的DFT是序列DFT的共轭对称分量

序列虚部×j的DFT是序列DFT的共轭反对称分量

序列共轭对称分量的DFT是序列DFT的实部

序列共轭反对称分量的DFT是序列DFT的虚部×j

是不是像绕口令，但总比公式强多了。

这一切，意义何在？

第一，从图形上可以淋漓尽致地体现DFT隐含的周期性。

第二，为DFT的简化运算提供了思路。

4、Parseval定理

图11