数字信号处理技术中不同频率之间的关系

在学习数字信号处理时,很多种频率很容易搞混淆,有模拟/数字/频率/角频率等等,也不是特别清楚不同频率之间的关系,希望这篇文件可以为各种频率来个了结.

4种频率及其数量关系

实际物理频率表示物理信号的真实频率; fs为采样频率,表示ADC采集物理信号的频率，由奈奎斯特采样定理可以知道，fs必须≥信号最高频率的2倍才不会发生信号混叠，因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。
角频率Ω是物理频率的2π倍, 这个也称模拟频率。
归一化频率是将物理频率按fs归一化之后的结果，最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5(ω=π)，这也就是为什么在matlab的fdatool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。归一化频率中不含fs的信息.
圆周频率是归一化频率的2*pi倍，这个也称数字频率ω。

有关FFT频率与实际物理频率的分析

做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。
换句话说，就是将2π数字频率ω分成n份，而整个数字频率ω的范围覆盖了从0-2π*fs的模拟频率范围。这里的fs是采样频率。而我们通常只关心0-π中的频谱，因为根据奈科斯特定律，只有f=fs/2范围内的信号才是被采样到的有效信号。那么，在w的范围内，得到的频谱肯定是关于n/2对称的。
举例说，如果做了16个点的FFT分析，你原来的模拟信号的最高频率f=32kHz，采样频率是64kHz，n的范围是0,1,2...15。这时，64kHz的模拟频率被分成了16分，每一份是4kHz，这个叫频率分辨率。那么在横坐标中，n=1时对应的f是4kHz, n=2对应的是8kHz, n=15时对应的是60kHz，你的频谱是关于n=8对称的。你只需要关心n=0到7以内的频谱就足够了，因为，原来信号的最高模拟频率是32kHz。
这里可以有两个结论:

必须知道原来信号的采样频率fs是多少，才可以知道每个n对应的实际频率是多少，第k个点的实际频率的计算为f(k)=k*(fs/n)

你64kHz做了16个点FFT之后，因为频率分辨率是4kHz，如果原来的信号在5kHz或者63kHz有分量，你在频谱上是看不见的，这就表示你越想频谱画得逼真，就必须取越多的点数来做FFT，n就越大，你在时域上就必须取更长的信号样本来做分析。但是无论如何，由于离散采样的原理，你不可能完全准确地画出原来连续时间信号的真实频谱，只能无限接近（就是n无限大的时候），这个就叫做频率泄露。在采样频率fs不变得情况下，频率泄漏可以通过取更多的点来改善，也可以通过做FFT前加窗来改善，这就是另外一个话题了。

为什么抽取/内插看起来对频谱有影响?

在数字信号处理时,经常需要对数据进行抽取或者内插处理.抽取之后的频率展宽了n倍,内插之后的频率压缩了n倍,从而需要在变采样率之后添加抗混叠滤波器.但是实际上信号的频率在抽取/内插的前后并没有发生变化.这里的核心原因是:归一化频率失去了采样率fs信息.
抽取和内插的实质是采样率fs的变化

举个例子:
我们设定fs=30.72MHz,使用3个cw信号的合成信号代表一个BW=8MHz的宽带信号,使用实际频率来表示信号,看到BW没有变化,使用数字频率w来表示信号,信号的BW似乎被压缩了.

Q: 为什么要在归一化频率下来分析信号?

归一化频率

clear all;

close all;

fs = 30.72e6;

ts = 1/fs;

nFFT=4096;

%nFFT=32768;

t=0:ts：（nFFT-1）*ts;

d0=100*sin（2*pi*10e6*t）;

d1=50*cos（2*pi*5e6*t）;

d2=10*cos（2*pi*2e6*t）;

dSum=d0+d1+d2;

dFFT = abs（fftshift（fft（dSum，nFFT）））/（nFFT/2）;

%dFFT = abs（fft（dSum，nFFT））/（nFFT/2）;

fAxis = （-1/2*nFFT：（1/2*nFFT-1））/nFFT*fs;

figure（1）

subplot（2，1，1）

plot（fAxis，dFFT）

title（‘original signal’）

subplot（2，1，2）

dSumI= zeros（1，2*nFFT）;

for k =1:nFFT

dSumI（2*k） = dSum（k）;

end

dFFTI = abs（fftshift（fft（dSumI，2*nFFT）））/（nFFT）;

fAxisI = （-nFFT：（nFFT-1））/（2*nFFT）*fs*2; %fs double

plot（fAxisI，dFFTI）

title（‘interpolated signal’）

figure（2）

subplot（2，1，1）

wAxis = 2*pi*（-1/2*nFFT：（1/2*nFFT-1））/（nFFT）;

plot（wAxis，dFFT）

set（gca，‘XTick’，-2*pi:pi/2:2*pi）

title（‘original signal normalize’）

subplot（2，1，2）

wAxisI = 2*pi*（-nFFT：（nFFT-1））/（2*nFFT）;

plot（wAxisI，dFFTI）

set（gca，‘XTick’，-2*pi:pi/2:2*pi）

title（‘interpolated signal normalize’）