如何让滤波器响应灵敏度在频率ω0时达到最小

图1提供了滤波器部分的原理图，这是本文要讨论的主题。

图1：SallenKey二阶低通滤波器原理图。

网上有许多不同的滤波器设计包。有些要求用户指定滤波器阶数和响应类型，例如Butterworth或Bessel。其它则要求通带纹波和宽度，以及阻带衰减，然后自动选择响应类型。这些可能会针对噪声、电压范围、低功耗或其它参数来优化。

其它设计包提供了更多的灵活性，而不只是处理响应类型，它们可让用户指定每个二阶滤波器的品质因数Q和谐振频率ω0（弧度/秒）。它们要求用户指定额外的参数组合来限定问题。这些参数可能包括DC增益和/或某些元件值。有了这些信息，就可以通过计算确定剩余的值。有时会提到Q和ω0对元件容差的敏感性问题。众所周知，滤波器在ω0时的幅度响应表现出最大的变化，即使对于合适的Q值也是如此，但是在单位DC增益（Rf/Rg = 0）的情况下，这种变化最小。这就要求C1 = 4·Q2·C2，这对于Q值较大时可能是有问题的。本文介绍的方法是当C1小于4·Q2·C2时，如何让滤波器响应灵敏度在频率ω0时达到最小。

滤波器配置的响应由下式给出：

图2：以Q和ω0值表示的滤波器响应。

为了方便，我们在求解元件值之前先定义一些术语。适用于设计的电容值范围受到尺寸、价格和容差的限制。因此，我们要控制电容比，也希望控制DC增益，它等于1+Rf/Rg。所以我们定义：

图3：定义本文公式中将使用的一些术语。

从公式（1）可以看出，真正起作用的是电阻Rf和Rg之比Rr，而不是它们的绝对值。因此，一旦我们指定Rr，就可以选择数值大的Rf和Rg，以便使功耗最小，或者选择数值小的Rf和Rg，以便使噪声最小。如果我们还指定了C1和C2，则Cr也确定了。从这些值可以得出R1和R2：

图4：用C2、Rr、Cr、Q和ω0计算R1和R2的值。有两组电阻值。

可实现性对Rr和Cr有一些约束要求。为确保平方根项及电阻R1和R2是实数，需要：

图5：所有滤波器的实现约束条件。

此外，从1/（2·Q）中减去平方根项的R2的表达式必须是正数，我们将其称为减法根。另一个称为加法根。所以，对于减法根，总约束是：

图6：R2的减法根构成的滤波器的实现约束条件。

公式（5）将R1和R2限制到减法根的一个小范围的值。稍后我们会看到，我们希望避免使用减法根实现滤波器，因为对于给定的Q、ω0、Cr和Rr，我们总是可以用加法根构建不太敏感的滤波器。

过去的设计中都是计算Q相对于电阻和电容每个值变化的灵敏度。但这里采用的方法是计算在频率ω0处滤波器响应幅度的灵敏度，ω0是变化最大的频率。这六个元件中每一个的灵敏度表达如下，其中Rr12=R2/R1：

图7：谐振时滤波器响应幅度对每个元件值的灵敏度。

找出灵敏度的平方和

下一步是找出这些灵敏度的平方和，这样就可以得到尽可能小的值。结果（除以2）是：

图8：谐振时滤波器对每个元件灵敏度的总和（除以2）。Ctol项是电容与电阻容差的比值。

请注意术语Ctol，这是电容容差与电阻容差的比值。例如，2.5％的电容容差和1％的电阻容差会得到2.5的Ctol值。在这种情况下，Ctol解释了电容值的更大变化。

我们希望确定公式的参数并消除Rr12，它可以用Cr和Rr表示。此外，由公式（3）给出的R1和R2电阻对的两个根的单独表达式是很有用的。我们也借此机会切换到平方和的平方根，因为这与所有元件的总灵敏度成正比。最后，我们希望仅绘制元件值的可实现范围。由于正在使用的图形包不会在图中画出虚数值，因此我们将√（-1）分配给不可实现的滤波器：

图9：谐振时滤波器响应幅值的每个元件灵敏度的平方和（除以2）的根。它包括R2的加法和减法根表达式。R1和R2用Cr和Rr表示。如前所述，术语Ctol也被采用。

图10显示随Rr变化的各种Cr值的滤波器的灵敏度。所示曲线的Q = 10和Ctol = 2.5，无论C2和ω0的绝对值如何，这些值都是有效的。实线是加法根灵敏度，虚线是减法根灵敏度。对于给定的Cr值，这两个根的曲线颜色相同。

图10：被两部分滤波器分开的总灵敏度曲线，其中Q = 10和Ctol = 2.5，随着Rr变化，各种Cr值变化导致灵敏度变化。实曲线是加法根灵敏度，虚线是减法根灵敏度。对于给定的Cr值，这两个根的曲线颜色相同。

从图中可以清楚看出几点。首先是给定Cr的加法根的最小灵敏度总是小于相应的减法根的最小灵敏度。因此，我们不应该使用减法根的元件值构建滤波器。第二个观察结果是，一般来说，Cr = C2/C1的值越小，可以实现的灵敏度就越低（更好）。第三，直觉可能会告诉我们，最好的解决方案是使用最小的Rr值产生可实现的滤波器，但曲线显示并非这样。第四，底部的橙色水平实线是我们能达到的最好结果。它对应于单位DC增益，Rf短路和/或Rg开路，并对应于Cr = .25·Q-2，即C1 = 4·Q2·C2。如果我们认为使Cr值更小会进一步降低灵敏度的话，那么直觉再一次失败。当我们将Cr设为.125·Q-2时，橙色水平实线之上的橙色水平虚线会告诉真相。

我一直无法找到Rr最佳值的闭合解——曲线的鞍点，即对给定的Q、ω0、Cr和Ctol，滤波器的总灵敏度最小的位置。不过我提供了一个Excel表，它可以精确地将这个值限定在0.1％以内。

各种滤波器设计的蒙特卡罗分析

如果不对图11和图12中的各种滤波器设计进行蒙特卡洛分析，本文就不算完整。响应曲线以20dB的增量隔开，以便看得更清楚，而不会相互混淆。表1给出了图11曲线的元件值。这再次证明，对于元件灵敏度低的滤波器，减法根不是一个好的选择，同样电容也不是。我们还看到使用Rr = Rf/Rg的最优值与较低和较高值进行比较的可取性。利用Rf相对于Rg的最优值，可以计算Rr。

图11：各种滤波器设计的蒙特卡罗分析。

表1：图11中曲线的元件值。

图12：各种滤波器设计的蒙特卡洛分析，不同参数情况下的滤波器灵敏度存在差异，其中Q = 10，Ctol = 2.5，Cr = C2/C1比值分别为0.316、0.0316和0.00316。

图12显示了Q = 10，Ctol = 2.5，而Cr = C2/C1值分别为0.316、0.0316和0.00316时滤波器灵敏度的差异。这些已经用Rr的最优值计算出来了。表2列出了所有的滤波器元件值。

表2：所有的滤波器元件值。

一些猜测

我们只探讨了Q = 10和Ctol = 2.5时的滤波器设计。这似乎是说，设计中R1和R2的值相当接近最佳Rr值。这个推论对于Q和Ctol的所有值都正确吗？如果是这样，即便我们使R1和R2相等并计算出结果Rr，灵敏度增加的可能也微乎其微。当然，闭合公式适用于所有元件。不过，有了Excel表，目前的方法会得到最佳的灵敏度，而且很容易使用。

设计Sallen Key低通滤波器从指定Q和ω0开始。Sallen Key滤波器谐振时使响应灵敏度最小化至元件值的黄金标准是选择单位DC增益，其中Rf是短路和/或Rg是开路。这要求C1 = 4·Q2·C2。可以选择C2的值并计算C1。然后，R1和R2可以由公式（2）和（3）确定，其中R2应该选择加上而不是减去平方根。但对于高Q的情况，这可能并不总是一个理想的方法。在这些情况下，应在C1/C2具有可接受的最大比值时才选择C2。设计中我们还需要知道电容容差与电阻容差的比值Ctol。应该为这些值找到最佳比Rr = Rf/Rg，使用前面提到的Excel表也许能找到。Excel表可以计算R1和R2，还可以选择任意Rr值，为Rg和Rf，以及C1、C2、Q和ω0指定自己期望的值。然后，Excel表计算出R1和R2。

其它性能参数也可得到改善。使Rf||Rg = R1+R2，放大器偏置电流造成的失调将会最小。使C1||C2最大、Rf||Rg最小，元件阻抗和滤波噪声将会降至最低。使C最小、Rf||Rg最大，功耗会降至最低。