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推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式

m3eY_edn_china 来源:未知 作者:李倩 2018-06-11 08:33 次阅读

一、基本公式

对于一个时间函数的正弦波:

即函数是u=F(t),注意u≠sin(t),F≠sin。

但是它是一个正弦波,故u=sin(£),£与t存在关系

即:u=F(t)=sin(£),£与t存在关系,£的单位是角度,t的单位是秒。sin只能对“角度”,不能对“秒”。“秒”要转换成“角度”才能sin。

现在来求解£是什么,发现:

O点,t=0时,£=0

A点,t=T时,£=2π

B点,t=2T时,£=2×2π

即£与t的关系是 £=(2π/T)×t

故得:u=F(t)=sin(£)=sin((2π/T)t) !!!!

另,

角速度=2π/t

角频率ω=2π/T=2πf,T为周期,f为频率

故最终:u=sinωt !!!!

即t乘以ω后,就变成角度了,ωt是角度,就可以sin了!

二、对于各种提前、延后的情况:

即sin函数里面的都是角度!

时间需要乘以ω转成角度。

角度要转成时间,就要除以ω。

π/2=ω×T/4,即T/4相当于是π/2。

三、平均值

时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。

1. 正弦波平均值肯定为0。

把角度当作时间来简化计算。

把2π当作周期T,把小片段角度d£当作小片段时间dt。

在一个周期T内的平均值,即是∫u×dt/T,即相当于∫u×d£/2π

用角度时:u=sin£

则∫u×d£/2π=∫sin£×d£/2π

在0~2π区间作积分:

故∫sin£d£/2π=(-cos2π+cos0)/2π=0

2. 全波整流的平均值:

只要计算0~π即可:

∫sin£d£/π=(-cosπ+cos0)/π=2/π=0.6366

即平均值=峰值的0.6366倍。

3. 半波整流的平均值

计算0~π,但周期要按2π算:

∫sin£d£/2π=(-cosπ+cos0)/π=2/2π=0.3183

即平均值=峰值的0.3183倍。

四、有效值

时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。

1. 正弦波有效值

把角度当作时间来简化计算。

把2π当作周期T,把小片段角度d£当作小片段时间dt。

在一个周期T内的有效值,即是计算一个周期T内的热量值相同的等效电压:

一个周期T内的热量值(假设电阻R=1):∫u^2×dt,即相当于∫u^2×d£

用角度时:u=sin£

则∫u^2×d£=∫sin2£×d£

在0~2π区间作积分:

故∫sin2£d£=(2π/2-1/4×sin4π)-(0/2-1/4×sin0)=π

等效电压Uo产生的热量值=Uo^2×2π等于∫sin2£d£=π

故:Uo^2×2π=π

最终得:Uo=0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

2. 全波整流的有效值:

只要计算0~π即可:

故∫sin2£d£=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2

故:Uo^2×π=π/2

最终得:Uo=0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

3. 半波整流的有效值

只要计算0~π,但周期要按2π算:

故∫sin2£d£=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2

故:Uo^2×2π=π/2

最终得:Uo=0.5

即有效值等于峰值的0.5倍

五、汇总

总之,sin函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间来计算。

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原文标题:一文学会推导正弦波正弦量、平均值、有效值

文章出处:【微信号:edn-china,微信公众号:EDN电子技术设计】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。

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