在高带宽系统需要增益和相位增强：运算放大器中的两个极点，如何令滤波器的性能失真？

在本文的第一部分，我们已论证运算放大器用于 type-2 补偿器的开环增益 A_OL 的影响。我们进一步推进分析，重点着眼于运算放大器的幅值和相位响应，推导出了存在低频和高频两个极点。如果在低带宽设计中可忽略这些极点的存在，但在高带宽系统需要增益和相位增强，您必须考虑到它们带来的失真。在这第二部分中，我们将谈谈由于存在这些极点，如何确定 type-2 补偿器的传递函数，和它们最终如何令滤波器的性能失真。

运算放大器中的两个极点

为了稳定运行，运放设计人员实施所谓的极点补偿，包括在低频放置一个极点，使放置第二高频极点前在频率 f_c 处的增益下降到1（0 dB），通常在 2f_c. 。

图1：运放的开环动态响应揭示了两个极点的存在

图1所示为一个典型的 µA741，您可看到交越频率 1 MHz，低频极点 5Hz 左右，而第二极点出现在约 2 MHz 。请注意，这是个典型的响应，开环增益A_OL106 dB 。开环增益不是个精确控制的参数，它可显着变化。数据表规定在整个温度范围内（-55至125°C）增益从 15K（83.5分贝）移至 200K（106分贝），那么当分立时，这曲线转变。

一个简单的拉普拉斯表达式可描述这两极点开环响应，如图1所示：

（1）

由图2的 Mathcad® 绘制曲线确定：

图2：运算放大器有一个低频极点，第二极点在超过 0 dB 的交越频率处。

运算放大器的一个简单的 SPICE 模型

我们可以很容易地建立模仿图2的频率响应的 SPICE 模型。如图3，它采用一个电压控制的电流源G₁，G₁有跨导g_m，后连一个接地电阻R_OL，再与电容C₁并联。对于R_OL，反相引脚V_inv的传递函数很简单：

（2）

如果我们现在缓冲电压，并放置具有电阻R₂和电容C₂的第二极点，我们得到我们想要的完整的传递函数：

（3）

元件值已自动显示在页面的左侧，一旦运行仿真，右侧就显示所获得的幅值/相位图。这是个简化的运算放大器模型，但它可以用于第一阶分析。它可稍后升级到模型更特定的特点，如电压钳位或压摆率电路，如 [ 1 ] 所描述的。请注意图中LoL和CoL的存在，由于它们的存在，在元件运行开环时需要将运算放大器输出电压固定为 2.5 V 。这里因为没有电源轨，我们可运行一个简单的交流分析，不考虑直流偏置点。

图3: 一个简单的 SPICE 电路，可建立一个有开环增益和两极点的运算放大器。

然而，如果您打算分析一个包括电源轨的更全面的模型响应，那么当您想要手动调整直流工作点时，这个简单的电路将避免该集成电路上下波动。在仿真开始时LoL短路，有助于以E₃和源V_ref调整工作点。一旦交流扫描分析开始于CoL，LoL阻断E₃的调制，调整工作点的电路转而静止。这是通常的诀窍，采用平均模型以运行开环增益分析，同时确保确定闭环偏置点到所需的输出值。这个简单的 SPICE 模型将帮助测试我们分析得出的数学表达式。

Type-2 补偿器有两极架构

既然我们知道运算放大器有两个特别的极点，我们可更新在本文第一部分我们最初使用的草图。图4所示为新建立的 type-2 补偿器，现在包括运算放大器的内部特征。

图4：更新电路将运算放大器中存在的两个极点考虑进来.

输出电压V_FB是误差电压e乘以运放的开环传递函数

（4）

另外，误差电压可通过使用叠加定理将V_out和V_FB 设置为 0 V 得出：

（5）

如果我们将（5）代入（4）并加以整理，得出：

（6）

Z₁(s) 相当于：

（7）

请参阅本文结尾的附录，以了解如何用快速分析技术以简单的步骤推导出这个表达式。

这个方程极其难处理，但有利的是，对于 Mathcad® 不是问题。我们可通过比较其动态响应与 SPICE 模型以验证它是否正确。我们假设下列元件值：

采用 type-2 架构的 SPICE 电路如图5所示。

图5：完整的 type-2 SPICE 模型现在构成运算放大器的动态响应。请注意，考虑到 2.5 V 参考电压V_ref2现在偏置于 NINV 引脚，将直流偏置点设置为 12 V 。

由图6证实，Mathcad® 和 SPICE 之间的响应是相同的，确定方程的有效性。

特征失真

图5仿真采用的元件值来自一个 type-2 补偿器，旨在以 20 dB 的增益在10千赫交越频率处建立65° 相位增量。如果我们现在比较由本文第一部分方程（36）给出的理想的 type-2 响应与使用 µA741 （106dBA_OL，有两个极点，5 Hz 和2 MHz）的 type 2 电路的响应，您会注意到一些差异，如图7所示：

图6：由 Mathcad^®提供的绘制曲线与由 SPICE 产生的曲线完美重合。

在该图中，我们可看到在10千赫处有轻微的增益偏差和离 20dB 差约 2.2dB 。其实无关紧要。而更重要的是您以完美的公式实现期望的65°相位增量。在10千赫处，由具有真正运算放大器的电路提供的相位增量仅44.6°或相差20.4°。这将相应减少最终的相位裕量。

图7：用有最高开环增益的 µA741 创建 type 2 ，已导致相位增量失真。

但后面更糟糕。如果您考虑由数据表显示的开环增益的偏差，若A_OL降至 83.5 dB ，最小的规格是多少？图8证明：在10千赫处的 20 dB 增益差 17 dB，而相位增量骤降至6.7°。无需解释为何系统的稳定性与最后一个值有关。图9的 SPICE 仿真通过在同一图中采集的3条不同曲线确定了这些数据。您可看到开环增益偏差的不利影响。

图8：如果开环增益现在骤降至 83.5 dB ，如运算放大器数据表所述，相位几乎无提升。

如果我们现在改变 type-2 规格，也就是说我们在 10 kHz 处不再需要一个增益，但在f_c 处有 10 dB 的衰减，同样相位增量65°，相位增量失真不那么明显，开环增益较低（见图10）。

图9：运算放大器开环增益的变化引起严重的增益/相位失真。

图10：如果 type-2 电路改为以 10 dB 衰减而不是在相同的10千赫交越频率处放大，目标仍没有达到，但失真程度较小。

采用此架构获得的中波段增益是- 11dB（相对于- 10 dB 的目标），而相位增量刚达到49°（相对于原来的65°目标）。

Type-2响应和开环增益绘制曲线

为确保运放内部不改变补偿器响应，通常的建议是在相同的图线上叠加理论型 type 2 幅值和运算放大器开环响应[ 2 ]。在图11中，左图对应于我们第一次尝试建立的一个 type 2 补偿器，在10千赫处有65°相位增量和 20 dB 增益。在该图中，运放幅值与 type 2 补偿器相交和相悖，导致我们想要的特征被破坏（最终的相位误差几乎有60°）。一看就很明显，这交叉表明，要么是选择的运放不适合，要么用 type-2 补偿器设置的目标过高。

A_OL=83.5 dB，在10 kHz 处需要20 dB 增益

A_OL=83.5 dB，在10 kHz 处需要10 dB 衰减

图11：左图清楚地显示这两个响应相交和衰减。右边的幅值图中没有交叉，但最终的结果也失真。

图11的右图似乎表明，我们应当可以设计那样的 type-2 电路，在10千赫交越频率处不再有增益而是衰减。但我们的计算表明不是这样，因为确定最终有17°相位误差。

[ 2 ]中的一种方法建议选择一个增益带宽乘积（GBW）大于所用 type 3 补偿器的 0 dB 交越频率的运算放大器。然而您可看到，它不适用于图11：在左边，type 2 的 0 dB 交越频率400千赫左右，而在右边，我们想要衰减而不是增益。我提出一个稍微不同的经验之谈的方案，其中运算放大器的开环响应必须比 type 2 补偿器的 20f_c“飞高” 20dB 。如图12所示。图形化的方法是确定你的运放必须具有多少 GBW 的第一步，以使所需的相位增量和增益目标在可接受的范围内。

Op amp：运算放大器

Ideal：理想的

图12：作为第一步，我们建议选定运放的开环响应至少比 type 2 补偿器的second -1- 斜率高20dB 。

您首先计算 type 2 在 20f_c处的 dB 幅值，再加 20dB 。然后您计算出相应的运放开环增益交越频率或 GBW ：

（8）

图11的左边，（8）给出了 4.4 MHz 的GBW ，而对第二种情况建议150千赫的 GBW 。应用这一策略到第一个例子，从而选定运算放大器开环增益为 90 dB ，低频极点位于150赫兹，或开环增益 80 dB ，低频极点450赫兹。不要减少开环增益到 70 dB 以下[ 2 ]，以使稳态误差在可接受的范围内。当应用这种策略，中带增益为 19.5 dB ，相位增量约60°»。在第二个例子中，（8）建议 GBW 140 kHz ，开环增益 80 dB 和低频极点 15 Hz 。中带增益色散为 0.4 dB ，相位增量为56°或偏差9°。低频极点增至30赫兹，降低增益色散到 0.2dB 和相位增量误差为4.4° 。

有了公式（8），您可开始选择一个合适的运放的 GBW 。基于观察和反复实施几种情况以找到合适的 GBW 。我曾试图从（6）提取可能的 GBW –例如忽略高频极点作用–以符合最初完美的 type 2 特定的偏差，但我不确定已经确立有意义的表达式。一旦您有建议的 GBW ，就能查找运算放大器的数据表和确定一个合适的元件。将A_OL和低频极点与 Mathcad® 表[ 3 ]联系起来，比较与目标的偏差。一定要探索最小值，以致在最坏的情况下偏差仍是可接受的。

高频电流模式降压转换器的补偿实例

假设我们设计了一个 5A 降压稳压器，将 3.7V 电池降至 1.5 V ，开关频率 1MHz 。输出电容是 180µF 和有 3 mW 等效串联电阻 （ESR）r_C。假设我们想要50毫伏输出压降，负载变化从 1.5 A 到 5A 。因此电源输出阻抗必须等于：

（9）

这可能表明小信号的闭环输出在交越频率f_c 处的阻抗以电容器阻抗为主，其提供的 ESR 足够小：

（10）

从所需的压降，考虑 180µF 电容和想要的 14.3mW 输出阻抗，我们可估算出需要的交越频率是：

（11）

有些人会反对，认为这是对小信号的近似分析，大信号响应将不同。这是事实，但经验表明，最终的结果与计算相近。当然，当存在 ESR 和 ESL（寄生电感），结果大大不同，但这第一阶的方法是个有意义的起点。此外，此方法分析表明将交越频率与通常建议的F_sw/ 5 或F_sw/ 10 相比，往往是荒谬的。

我们选择了62千赫的交越频率f_c。为了补偿这种转换器，我们首先需要功率级的动态响应，这是分析的出发点。有几种方式：a）使用控制到输出的传递函数H（s） 并由此得出波德图）b) 用平均模型建立一个仿真设置 c）在实验室建立一个原型和用网络分析仪提取响应 或 d）用 Simplis® 或 PSIM® 建立开关模型和提取交流响应。我们采用了策略 b）如图13所示。

Power stage dynamic response：功率级动态响应

图13：平均模型帮助我们很快建立电流模式转换器

从幅值图，我们看到，如果我们想要62千赫交叉频率，中频带增益必须是 25.5dB 。如果我们目标是70°相位裕度（pm），在交越处约86°的相位滞后（pfc）需要以下相位增量值：

（12）

从 Mathcad® 表的计算表明，一个极点位于291千赫，而零点将位于 13.2 kHz 。根据（8），必须选择一个 50 MHz 的 GBW 放大器。查阅各种运放的数据表，我们发现 LT1208 具有典型的 7k 开环增益（约77dB），可降到 2k（66dB）为最小值。其典型增益带宽积为 45 MHz ，在电源 ±5 V 时，降至34兆赫。因此，低频极点位于34兆赫/ 7k，约4.8千赫处。

图14：开环增益色散会影响到最终有效的相位增量。

图14所示为两个不同的开环增益的 type-2 波德图。77dB 提供 45 MHz GBW 和色散很小。当A_OL降至 66 dB （最低规格），增益色散仍可接受，但相位增量偏离目标10.7°。

降压转换器中的运放

我们现在可以实际模型（至少有A_OL与两个极点）闭环和捕获选定的运算放大器的特点到我们现在更新的的仿真原理图。

图15：运算放大器现在有低频和高频两个极点.。

由该图，我们可绘制开环增益T（f），并看到开环的变化如何影响动态响应。结果如图16所示。正如预期的那样，交越频率和相位裕度出现一些色散。

图16：动态响应受开环增益变化的影响。在最坏的情况下（66dBA_OL），相位裕度下降到60左右°，是可接受的（虚线）。

由图15仿真电路，我们可运行一个瞬态负载阶跃，并检查两个不同开环增益的响应。结果如图17所示。

图17：最低的开环增益有 44 mV 的偏差而典型值导致压降 40 mV（虚线对应于66dB A_OL）

该压降在两个开环增益值的规格范围内。当然，这是个简化的方法，考虑到运算放大器的误差电压偏差（1.6 V），压摆率必须是整个分析的一部分，其影响对瞬态响应的评估。

总结

第二部分介绍了运放动态响应对补偿器性能的影响。当需要大带宽时，您不可再忽视这些对补偿器的动态响应的作用。可以将您想要的完美的 type-2 响应与所选择的运放的开环幅值图叠加，并看看是否重叠。然而，我们已看到的一种情况是，不重叠最终导致一个显着的相位增量失真。通过运算放大器开环响应和完美的 type 2 开环响应之间的显著差距，您可选择增益带宽积，并以给定的公式检查它如何影响所需的响应。一个全面的稳定性分析，必须通过影响所有元件容差考虑整个环路增益，包括运算放大器的内部。通过（6）中完整的 type-2 传递函数，您就可以进一步分析。

参考文献

1. Basso, “Practical Implementation of Loop Control in Power Converters”, APEC Professional Seminar, Charlotte (NC), 2015, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

2. T. Hegarty, “Error Amplifier Limitations in High-Performance Regulator Applications”, AN-1997, Texas-Instruments, May 2013, http://www.ti.com/lit/an/snva411a/snva411a.pdf

3. http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

4. C. Basso, “Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”, Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5

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