一、线衰减系数
CT与普通的X线摄影术之间有着非常重要的区别。在CT技术中，组织对X线的局部衰减特性被用于离散成像；而在通常的X线摄影术中，这种衰减信息则重叠在X线底片上。组织对X线的这种局部衰减特性是X线与被检测物体之间的若干相互作用过程的产物。例如光电吸收过程和康普顿散射过程。这些过程中的每一种都有它自己的发生几率。几率也是辐射能量的函数,因为从X线管产生的X线由全部能谱组成，具有“线衰减系数μ”的某种组织的衰减性质是 一个复杂的函数，随着辐射情况的变化，它可以表现出不同的数值。
对于能量为E的单能射线，当其通过厚度为d的材料后，其X线强度由I0衰减为I，可以用公式表示：
从上面表达式可以看出，μ值越大或材料厚度d越大，则I值越小，或者说衰减就越大。能量与吸收系数μ之间有这样的依赖关系，即能量越低，μ值越大；且随着能量的增加，μ值随之减少(图3-4)。
图3-4 线衰减系数与能量,射束硬化关系曲线
这就意味着在X线光谱中，低能射线比高能射线更快地被滤掉。结果，组织的有效线衰减系数μ在X线束穿越组织的过程中逐渐减小，这种效应称之为射束的硬化效应。对此必须进行认真的校正，以避免由这种效应引起的CT影像不均匀性。
影像重建过程中，一个像素的μ值由在所有不同方向上通过该像素的那些测量值计算得到。每一个方向上的测量X线都要穿过不同厚度的组织，这就意味着重建得到的μ值是一个取决于物体大小、形状和组成成分的有效值。
一般说来，软组织的μ值接近于水，肌肉的μ值大约比水的高5%，而脂肪的μ值比水的大约低10%，脑灰白质的衰减系数彼此间相差0.5%，而它们与水的μ值相差3.5%，硬骨的μ值比水高1倍。由于论及吸收系数不太方便，所以豪恩斯菲尔德便定义了一个新的衰减 系数标度，人们出于对他的敬意，将这种新标度单位命名为“H”,这就是CT术语中所说的CT值。
用这种CT值表示吸收系数后，水的CT值定为0，而空气和硬骨分别被定为-1000和+1000。于是，重建得到的CT影像可以认为是一个CT值的矩阵，其中每个值代表一个像素。
二、影像重建
影像重建是为了产生一幅X线衰减值的二维分布影像所必须进行的数学处理过程，这些衰减值是从有限方向上对各个剖面进行衰减测量得到的。
影像重建算法，即解一个数学问题的程序，有很多种方法，但可归结为3种基本类型.
1．代数重建方法
这是一种迭代型方法，在一次迭代过程中，将近似重建得到的影像的投影同实际测得的剖面进行比较，然后将比较得到的差值再反向投影到影像上，每一次反射之后得到一幅新的近似影像。当对所有投影方向都这样做了之后，一次迭代便告完成，并用前一次迭代的重建结果作为初始值，以便开始下一轮迭代。在进行一定次数迭代以后，认为结果已足够精确，重建过程便告结束(图3-5).
图3-5 代数重建算法
这种算法耗时很长，但确实是一种精确的方法。这种方法由于必须等到全部测量数据求出后才能开始迭代运算，因此，重建一幅影像要在扫描终结之后才能进行，且运算繁琐，故此方法在现代CT机中已很少采用。
2．反投影方法
（1）定义 反投影是一种应用投影几何原理进行影像重建的方法（图3-6a）。
设在XY平面上有一个断层T，从甲、乙、丙3个方向进行X线投影，可得到3个不同方向的投影像。用胶片记录这3个投影，然后取去断层T，用光线从记录胶片的背面作反投影，那么在XY面上将出现3条阴影。这3条阴影交叉处就是原先断层内A的影像。如果投影方向不断增加，则XY面上A处的阴影浓度加深，近似于原来的图形A，四周伴有逐渐变淡的云晕状阴影（ 图3-6b）.
图3-6 反投影影象重建发法
（2）云晕现象的消除方法 这种数学重建影像方法的关键在于如何消除四周云晕状阴影。图3-6c中，A作为原物体，B为记录投影密度曲线。如果不直接将曲线B 进行反投影，而是按一定比例在曲线B的突出左右两侧各加上一些负值，对曲线先进行校正 ，则得到图3-6d所示的曲线C。用曲线C进行反投影迭加的结果是一个边缘清晰的像。将投影记录曲线从B到C的变换，就是褶积加权的数学处理过程，也称滤波过程。
3.褶积-反投影法
（1）傅里叶变换在一维变换中，它是将一个t（在时间域）的函数变换为 ：
F(ω)＝
e-jωtdt (3.1)
式中：t代表时间变量，ω代表频率变量，用f（t）表示时间的函数，F（ω）表示频率的函数，（3.1）式等号右边积分式表示时间函数f（t）与其相对应的频率函数F（ω）的傅里叶变换关系式。
由（3.1）式可见，如果已知时间函数f（t），即可求出频谱图F（ω）。反之，如果知道频谱图F（ω），亦可求原波形（或称原像）。这就需要通过傅里叶反变换，其变换式为：
f(t)＝
jωtdω (3.2)
（3.2）式称为傅里叶反变换，它将一个在频率域的函数变换成为在时间域的函数.
对于二维傅里叶变换，则有如下公式：
F(ωx,ωy)＝
e－j(ωxx＋ωyy)dxdy (3.3)
f(x,y)＝ 
(3.4)
(3.3)式称为傅里叶空间-频率域变换，(3.4)式称为频率-时间域的傅里叶反变换。
（2）褶积 褶积就是下面的积分：
y(t)＝
＝x(t)*h(t) (3.5)
函数y（t）称为x（t）和h（t）的褶积（或卷积）。一般用*号来表示两个函数的褶积 ，写成x（t）* h（t）.
这种积分的解法很多，一般可用图解法和傅里叶变换法求解。
（3）褶积的傅里叶解法 由褶积定理知，在时域中两个时间函数的褶积可以化为在频域中与之相应的两个频谱函 数的乘积，即：
Y（f）=X（f）·H（f） （3.6）
式中Y（f）、X（f）、H（f）分别是y（t）、x（t）、h（t）的傅里叶变换。
由式（3.5），两边分别进行傅里叶变换得：
＝
等式左边的积分结果为Y（f），
Y(f)＝
(3.7)
令ω=2πf，t－τ=σ,上式方括号中项为：
=
=
于是（3.7）式变成：
Y(f)＝
=H(f)=
H(F).X(F)
该式表达形式和（3.6）式完全相同，（3.6）式得证，并得到2个关系式：
y（t）= x（t）* h（t）
Y（f）=X（f）·H（f）
（3.5）式和（3.6）式的意义是：两个时间函数的褶积，其频谱函数就是相应的两个频谱函数相乘。反之，两个频谱函数相乘，其时间函数就是相应的两个时间函数进行褶积，这就是数字滤波的基础。滤波可以通过两种方法来实现：一是在频域实现，将频谱X（f）与H（f）相乘得Y（f），再由Y（f）作傅里叶反变换得到y（t）；二是在时域内实现，将时间函数x（t）与h（t）褶积得到y（t）。
（4）褶积－反投影 利用褶积的方法，先对采样函数值进行修正，然后利用反投影法重建影像，也就是说，在反投影相加之前先用一个校正函数进行滤波，以修正影像，故也称为滤波修正反投影法。
第3代CT扇形扫描形式均采用此方法，这种做法的好处在于当扫描系统作机械运动时，计算机可进行傅里叶变换，扫描后只需再作短暂的处理就可以建立影像。如何确定校正函数是唯一存在的问题，也是目前各国厂商彼此间相互保密、竞相角逐的关键所在。
（5）褶积-反投影程序 如图3-7a。
图3-7a 褶积-反射投影原理图
1.反投影2.褶积反投影
设一个断层由9个像素组成，中间像素密度值为1，其余各像素均为0。从A、B、C 、D 4个方向分别记录断层的密度分布，得到a、b、c、d 4条投影曲线。如果直接用上述4 条投影曲线作反向投影，即A′、B′、C′、D′这4个投影矩阵分布迭加，得到矩阵M′,其中央密度是4，4周有8个1。这8个1就是云晕状阴影。
若在反投影之前，将得到的a、b、c、d 4条投影曲线的左右各乘以负1/3的比例值（或滤波函数h（t）= -1/4k2-1），然后再进行反投影，即得到A′′、B′′、C′′、D′′4条反投影矩阵分布图。这4个反投影迭加的结果，中心像素密度值是4，4周8个像素值是0，矩 阵M′′如实地反映了原来断层的密度分布规律。矩阵中心的像素密度值4和原来断层的密度值1可以认为是等价的，因为反投影迭加后还应该将其结果除以反投影次数。这个结果说明 ,褶积�反投影重建影像的方法能够如实地再现原来影像。
（6）褶积-反投影傅里叶变换法步骤 首先选择坐标系(图3-7b)。
图3-7b 坐标关系图
图中：
XOY是直角坐标系，原点在O点。
XrOYr是旋转坐标系，原点在O点。
Xr轴与X轴夹角为Φ，r、θ是极坐标系，向径r与x轴夹角为θ。
各坐标系之间的关系如下：
xr=xcosφ+ysinφ
yr=ycosφ－xsinφ
ω1=2πfcosφ
ω2=2πfsinφ
设待建影像为a（x,y），它的二维傅里叶变换为A（ω1 ，ω2），则：
a(x,y)＝
将（3.8）式中的各物理量转换成极坐标系表示的量，
A（ω1 ,ω2）→P（f,Φ）
ω1x＋ω2y = 2πfcosφ·x＋2πfsinφ·y
＝2πf(xcosφ＋ysinφ)＝2πfxr
＝2πfrcos(θ－φ)
dω1＝2πcosΦdf－2πfsinΦdΦ
dω2＝２πsinΦdf＋2πfcosΦdΦ
要将dω1、dω2的表达式转换成用df、dΦ表示的表达式，需要引入雅各比行列式 ，然后进行转换，即：
dω1dω2＝｜J｜dfdΦ
｜J｜＝
＝
=4π2f
dω1dω2＝｜J｜dΦdf＝4π2fdfdΦ
其中│J│是雅各比行列式。
将以上各式代入（3.8）式，得：
a(x,y)＝
=
｜f｜dfdΦ
=
｜f｜P(f, Φ)ej2πfrcos(θ－Φ) df
注意（3.9）式的物理意义，先看第2个积分：
｜f｜P(f,Φ) ej2πfrcos(θ－Φ)df
该式可写成空域变量为xr的傅里叶反变换式：
｜f｜P(f,Φ) ej2πfrcos(θ－Φ)df
= ｜f｜P(f,Φ) 
= h(xr)*P(xr,Φ)
= g(xr,Φ) (4.0)
h（xr），P（xr,Φ）分别是│f│和P（f,Φ）的傅里叶反变换。式（4.0）的物理义正是投影P（xr,Φ）经过传递函数在频域中为│f│的滤波器滤波以后所得到的修正后的投影g（xr,Φ）在满足xr=rcos（θ-Φ）时的值。而xr=rcos（θ-Φ）恰是通过给定点（r、θ）的射线方程。将式（4.0）代入式（3.9）后得：
a(x,y)=a(r,θ)＝
g〔rcos(θ－Φ)，Φ〕dΦ
它的物理意义是：经过给定点（r、θ）的所有滤波后的投影在Φ=0～π范围内的累加即反投影重建，得出（r、θ）的像素值。上式又称“滤波反投影”方程，它集中体现了滤波（ 褶积）反投影算法的各个步骤：①把在固定视角Φi下测得的投影P（xr,Φ）经过滤波,得到滤波后的投影g（xr,Φ）；②对每一个Φi，把g（xr,Φ）反投影于满足xr=rcos（θ-Φ）的射线上的所有各点（r、θ）；③将步骤（2）中的反投影值对所有0≤Φ≤π进行累加（积分），得到重建后的影像。
理想的滤波函数：在上述方程推导过程中，理想的滤波函数是│f│，这是频域中的表达式。为将其转换到空域，引入符号函数sgn（f），
sgn(f)＝
｜f｜＝f sgn(f)＝jf［－jsgn(f)］
-j sgn（f）的傅里叶反变换为：
－j sgn(f)ej2πfxrdf
上式积分不存在，故引入－j sgn(f)e－βfsgn(f)代替－j sgn(f)，令β→0：
－j sgn(f)e－βfsgn(f)df
＝
-
= 
=
所以，根据傅里叶变换的性质：
f（t）的傅里叶变换为G（f）
f’（t）的傅里叶变换则为jfG（f）
｜f｜＝jf［－j Sgn(f)］其反变换为：
式（4.1）是理想滤波函数的空域表达式。
当xr=0时，式（4.1）无意义，所以理想滤波函数是无法实现的。尽管如此，在实际使用中，若能结合具体成像过程，则上式既可实现，又有足够的精度。具体情况是：①投影数据的高频分量幅度很小；②投影数据是离散采集；③存在噪声。
在物体尺寸有限的情况下，投影数据分布在有限的范围内。物体密度在空间变化是平
稳的，高频分量幅度确实不大。探测器在接收X线时，有一定的平均作用，相当于低通滤波 。有限的X线源尺寸也提供了附加的低通滤波效应。因此，只要采样间隔d足够小，完全有理由认为高频分量足够小。
三、影像质量
CT能诊断低对比度软组织的病变情况，绘制手术部位的准确位置，为制定放疗方案及身体组织检查或立体脑外科技术等某些特殊治疗程序示导。CT机诞生的早期，由于没有任何别的影像可与CT影像进行比较，所以不太关心影像质量。
随着CT技术的发展和诊断要求的升级，人们开始注意CT影像质量问题，随之提出了一些影像质量参数。
1.影像质量参数
(1)对比度分辨率 该参数是指当细节与背景之间具有低对比度时，将一定大小的细节从背景中鉴别出来的能力。
该指标具体是指通过扫描水模的低密度部分，然后重建影像，在一定的对比度差异条件下，能看到的最小直径圆的大小。一般水模低密度部分有3个区域，每一个区域表示一定的对比度差异，而且包含有不同直径的柱体。其直径分别是15 mm、12 mm、9 mm、6 mm、3 mm。 图3-8表示水模低对比度部分的横截面。
图3-8 低对比度分辨率测试模
图中3个部分分别标有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域，Ⅰ区内对比度差异为1.5%，Ⅱ区内对比度差异为0.8%，Ⅲ区内对比度差异为0.6%。实际测试时，还应该实地测量每个区内的对比度差异。首先测量每个区内中心点处的H值为A，再测量区内最大的圆柱截面中心的H值为B，则 该区域对比度差异为｜A－B｜×0.1×1%。
（2）空间分辨率 指在高对比度条件下（对比度差异大于10%）鉴别出细微差别的能力。一般地说，空间分辨率由X线束的几何尺寸所决定。空间分辨率可通过选择不同的滤波函数而改变，但提高影像的空间分辨率有一定的极限，比之普通X线胶片只受胶片粒度大小一个限制参数来说，它受到探测器大小、采样间隔以及有时还受到X线管焦点大小等限制。这就意味着CT机在高对比度条件下使用时，如作骨骼结构或胸腔检查，它的空间分辨率不会超过通常的X线摄影术。但是，通过增加探测器的数目和减小采样间隔，是能够达到较高的空间分辨率的。空间分辨率的表示方法，在机器的技术指标中大都以线对数/厘米来表示，也有用毫米表示的。这两种表示方法本质上是相同的。
线对数/厘米是指在1 cm长度范围内的线对数；线对数是指等距离放置密度差异较大的物质薄片，片厚与间隔相等，每1片与1个间隔组成1个线对，每1片的厚度（mm）=10/(2×线对数)（mm）。
评估空间分辨率是通过扫描水模的高对比度部分来实现的，如图3-9所示。
图3-9 空间分辨率检测模型
图中“○”为高对比度圆孔（也有的为方孔），图中标注的尺寸是指孔的直径，这是以毫米的形式表示空间分辨率。如果扫描后重建影像，能清晰地分辨出0.50那一排孔，就说成空间分辨率为0.50 mm，对应的线对数为10线对/厘米。
（3）切片厚度 是指一次扫描中X线穿过组织的纵向长度，它是由X线准直器开口的宽度所决定的。在影像的任何地方，保持切片厚度不变是十分重要的。切片厚度还受准直器与X线焦点之间的距离和焦点大小的影响。
切片厚度的测量是通过扫描水模2个纵向放置的铝板部分，影像重建后通过测量并计算得到的，其测量原理如图3-10所示。
图3-10中，2块铝板平面与水模中心轴线夹角为±α。扫描时，X线如图中箭头所示，重建影像如侧视图所示，La、Lb是2块铝板对应的影像，La是a板的垂直高度，Lb是b板的垂直高度，La、Lb分别可在重建影像上的高密区测量到。在直角三角形ABC 中，BC=ABctgα,式中AB就是La。为了使测量更准确，一般取La、Lb的测量值平均数 ，所以切片厚度的计算式应为d=BC=(La+Lb)/2·ctgα。
图3-10 切片厚度测量原理
（4）线性 表示CT值与线衰减系数之间成正比变化的特性，它表示实测CT值与扫描物质实际具有CT值之间的差异。
（5）均匀性 指同一物质在不同的位置所测得CT值的差异。例如，扫描物质为水时，影像中心区的CT值应为0±1.5，而在中心外围，距中心40mm的圆上，上、下、左 、右4点处的CT值应为中心处的CT值±4。超过此限度即认为影像均匀度不佳。
（6）伪影 是扫描物体中不存在而出现在重建影像中的所有不同类型花样和其他非随机干扰的总称。引起伪影的原因和大致类型有：被检者在扫描期间运动引起条纹伪影，X线束能量变化引起环状伪影，探测器灵敏度变化引起环状伪影，重建中心与旋转中心不重合引起模糊伪影，造影剂沾染在扫描区域、机器故障引起的伪影等。
2．剂量、噪声和X线束几何尺寸之间的关系
影像质量主要受到光子噪声的限制，这就意味着同一个给定体积元素相互作用的光子数目可以通过计算得到，结果可以确定噪声的理论极限。这表明，断层厚度、像素大小和局部剂量之间存在着一定关系。若把物体大小和平均线衰减系数考虑在内，则这种关系也可被转换成对皮肤剂量的一种评估。基于这种考虑，布鲁克（Brooks）推导出如下的公式：
σ＝
σ：噪声标准差；
c：描述剂量效率的常数；
B＝e－μd，物体衰减因数，μ为平均线衰减系数，d为物体厚度；
w：像素大小；
h：断层厚度；
D0：最大皮肤剂量。
这个公式显示出某些有趣的交换补偿关系，如图3-11所示。
图3-11 噪声与各参数间的函数关系
根据公式，要使噪声减少一半，剂量需要增加到原来的4倍；噪声大小维持不变时，要使像素宽度减少一半以提高空间分辨率，则剂量要增加到原来的8倍；若要保持原来的噪声不变，使断层厚度减半，则剂量要增加到原来的2倍。很显然，当给予受检者的剂量被限制在一个合理的范围内时，对所有影像质量参数都获得有诊断价值的影像是不可能的。因此，在给定了受检者的能接受的剂量水平的条件下，应该选择特别强调的那个影像质量参数。
3．影像观察
（1）对比度接受能力 要想看清一幅影像，这幅影像必须是由不同亮度区域组成，影像上2个相邻区域亮度差异必须大到一定程度，否则就无法区别相邻的区域。
对于一个给定的区域，假定观察区域的密度值为D，则D=log10（I入/I出），式中I入表示入射光强度，I出表示射出光强度，D表示光吸收系数的对数。因为人眼感光是按对数规律变化的，即光线强度变化100倍时，人眼只能反映出2倍的光变化， 并且人眼感光能力也有一定的限度，当光线强度变化1500倍时，人眼的反映为3.2 倍的变化，在此之后，即使光线亮度再发生更大幅度的变化，人眼也无法识别了。这就是说，人眼识别密度变化范围大约是1?500倍的光强度变化。在观察一幅影像时，最黑的区域对应于光衰减1?500倍，或者认为此时密度为3.2。影像中最亮的区域，对应于光线没有任何衰减，即D=0。实际上人眼所能看到的最亮的区域密度大约在D=0.1.
密度的变化低于20%时，人眼是觉察不出来的，所以在控制高压发生器和X线球管电流时 ，也是按照20%～25%的比率改变的，曝光时间亦是按25%的比率改变的。
（2）窗口技术CT 扫描重建影像的H值覆盖范围是－1000～＋4000，也就是说，一幅影像上的亮度差异是5000个。对于这样大的亮度变化范围，人眼是无法区别的。人的眼睛仅能区分40个灰度差异甚至更低。所以，CT扫描尽管能重建出很好的影像 ，人眼却不能分辨出来，这是一个很大的矛盾。为此，CT技术中引入了一个新概念�� 窗口技术。
窗口技术就是从5000个CT值中选出其中的一小部分，并用整个灰度级(灰阶)来显示。这其中的一小部分CT值称为窗宽，而中心CT值称为窗位。用窗位决定观察影像的中心，而用窗宽决定观察CT值的范围。 窗宽的下限以下部分的影像呈现全黑，窗宽的上限以上部分的影像呈现全白，只有在窗宽选定范围内的CT值用64级灰度等级(灰阶)来显示。有了窗口技术，观察者可以随意调整影像的对比度，使得欲观察的部位影像清晰.
窗口技术包括窗宽和窗位的调整，如图3-12所示。
图3-12 窗宽,窗位示意图
图中曲线c所对应的窗口技术，窗宽是800 H，窗位是0 H。在此条件下，计算机就从影存储器中调出-400～+400 H值范围内的影像信息显示在荧光屏上，并用64级灰阶来 显示影像。这样每一个灰阶能包含12.5 H。图中曲线B对应窗宽为400 H，每一个灰阶包含6 H。曲线A对应窗宽为200H，每一个灰阶包含3H，它们分别对应线衰减系数μ值变化0.3%、0.15%和0.08%。由此可见，通过窗口技术，可以把物质衰减系数的微小差异以明显的灰度差别显示在影像上，当扫描物体是由密度差异很大的物质组成时，用单一窗口技术就很难在一幅影像上既能分辨低密度区，又能同时分辨高密度区。例如，扫描人体肺部，肺泡里充满气体，是低密度区，血管和肌肉又是高密度区，为了既能看清肺泡的影像又能看清纵隔的影像，引入了双窗技术，如图3-13所示。
图3-13 双窗选择示意图
用双窗技术，操作者可以把64个灰度等级平分为2个部分：一部分是0～32级 ，另一部分是33～64级，其窗位分别是－400和+400，它们的窗宽都设定为400，这样在一幅影像上，既能看清低密度区，又能同时看到高密度区。