5.2.1 定积分的近似计算
在应用问题中常遇到要求定积分
的数值，但f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表示出来。例如
等，所以提出了积分的近似计算问题。
定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。
此处介绍抛物线法
原理：实质上是用抛物线逼近曲线段，如图由此可推出
。此公式称为辛卜生公式。
近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析）。
5.2.2 无穷限的广义积分
定义1 设函数f(x)在区间[a , +¥ )上连续，取b>a，若极限
存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +¥ )上的广义积分，记作
，即 
。 (1)
这时也称广义积分
收敛；若上述极限不存在，称为广义积分
发散。
类似地，若极限
存在，则称广义积分
收敛。
设函数f(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，如果广义积分
和
都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥ , +¥ )上的广义积分，记作
，也称广义积分
收敛；否则就称广义积分发散。
上述广义积分统称为无穷限的广义积分。
例1 证明广义积分
(a>0)当p>1时收敛，当p£ 1时发散。
证 当p = 1时，
,
当p¹ 1时，
因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为
；当p£ 1时，这广义积分发散。
5.2.3 无界函数的广义积分
现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。
定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取
，如果极限
存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作
，这时也称广义积分收敛。
类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分
与
都收敛，则定义
； (2)
否则，就称广义积分发散。
例2 证明广义积分
当q < 1时收敛，当q ³ 1时发散。
证 当q = 1时，
，
当q ¹ 1时，
因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为
；当q ³ 1时，这广义积分发散。