第7节 一阶电路的冲激响应和卷积
一、冲激函数
冲激函数：冲激函数可以看成是宽度趋向于0，幅值趋向于∞，但面积保持为1的矩形脉冲信号的极限。
二、冲激响应
冲激响应（impulse response）
电路在单位冲激电压或冲激电流激励下所产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。
由KCL，得
对上式在
到
时间内进行积分，得
由于
是冲激函数，则
就不可能是冲激函数，所以，
因此，
故 
注 意：在冲激电流源
的激励下，电容电压由
跃变到了
。
当
时，
，即冲激电流源相当于开路，电容C开始对电阻R放电，电路中产生由初始电压激励的零输入响应，RC电路的冲激响应为
同理可得，RL电路的冲激响应为
三、卷积
现在分析电路在任意激励e(t)时的零状态响应。设电路的外加激励e(t)为任意函数，如图5.5-4所示。
把时间区间[0，t]等分成n段，每段的宽度为Δ，这样，由n个矩形脉冲组成的阶梯曲线
就可近似地代替e(t)曲线。显然，当
，
时，→e(t)。
第k个矩形脉冲为
由n个矩形脉冲组成的阶梯曲线就可表示为
可以看成是幅值是
，宽度是
，面积为1的矩形脉冲，当时，此矩形脉冲就变成了一个出现在
时的单位冲激函数
。因此，
任意的激励函数e(t)都可看成是一系列幅度是
，出现在时的冲激函数的叠加。
对于线性时不变电路，若在冲激函数
激励时产生的冲激响应是h(t)，则由叠加定理和齐次定理，可得激励时产生的响应为
当时，
，即阶梯曲线变成了激励函数e(t)，而
卷积（convolution integral）：线性时不变电路在任意函数e(t)激励下产生的零状态响应是冲激响应与激励函数的卷积。
例5.7-1 电路如图5.7-5所示，电压源为正弦函数，即
，电感的初始储能为0，试用卷积积分法求零状态响应
和
。
解：电感电流的冲激响应为
则
时的电感电流的零状态响应为
令
，
，则
，
，所以，
因此，电感电流的零状态响应为
电感电压的零状态响应为