$1 国家需要各种人才,不一定要念数学

    从前我们的时代,念中学和大学的时候,能够挑的科目不是很多;现在比起从前有点大 不同,可挑的比较多. 如果是要赚大钱,你可以念工商管理,很多不同的科目,你可以赚  很多的钱. 其实对整个国家来讲. 需要的是能够管经济或其它的人才,赚钱没有什么不 好.  所以对于国家,整个社会来讲,没有讲一定要念数学. 其实要混口饭吃的学科很多,同 时也可能比较容易点,所以念数学没有是为了必要混口饭吃就好了. 就是讲你跳出这门课来看的时候,最好不要讲数学就是为了混口饭吃或为什么东西的. 所以假如你不想念 数学,就早点决定不要念数学,你真的要念数学的话,你就花功夫在这上面.

    $2 决定念数学就不要三心二意

    我的结论就是假如你决定要念数学,挑选了数学以后,你就花全部功夫在数学上面去,  希望对数学有兴趣,在数学里你可以得到很大的乐趣. 同时这样决定了, 对你以后的成 就也会有很大的影响. 我觉得最不好的就是你既然对数学有兴趣,却为了赚钱就跑到其它科目,其实你也不见得赚得到钱. 这是讲你的决心要下的很大,不要三心二意,"让我念念看,假如不行的话在转",很多人是这个样子,尤其是中国学生,进了大学在试试看嘛,这儿不行就转转,最后搞得两边都不如愿时,很多人是这个样子,为什么一定要这样? 这是决心的问题,一个很重要的决定,就是你进数学系时,你预计要做什么事情,对我自己来讲,我很早就下了决心我要念数学,所以从来没有想过要转其它的或是为了其它事情不念数学.

$3 懂得越多,才知兴趣所在

到了你决定以后,你要懂得数学有很多不同门,就是分支,你在大学,对每一门分支的了解可能差得远. 就是讲你很难在大学里就决定对数学里那一门兴趣大一点. 其实兴趣和你懂得的学问是有关系的,因为你可能对某件东西有兴趣,不过你不晓得它时,你就不可能对他有兴趣. 譬如你去爬山,你爬过了小山才看得到大山,你还没有看到后面的山以前,就不可能对后面的山有兴趣,所以所谓兴趣和你了解多少是一种非线性(笑)的关连.

  $4 兴趣和时空关联很大

所以这个兴趣和你当时的地理环境有关系,跟当时的时间也很有关系,就是和当时的时空关联很大. 譬如来讲,因为你刚好在台湾,你旁边的教授若是单做那一行的,你对其它行就不见得晓得. 就整个世界来讲,虽然你刚好走到某个地方,也许时间刚好不对,大部分数学家对这一方面兴趣不大,对其它问题兴趣大一点,并不表示其它问题就不重要. 所以整个数学家对数学的了解,跟时空有关,因此兴趣也会跟这个有关.

  $5 开放心胸,了解基本课程

  我觉得一个年轻的学生,首先要 openmined, 就是讲你要晓得,你念得学科,有很多时候跟其它的学科关系很大,不要以为我念的这门学科跟其它的完全无关,其它的就不念了。例如很多学生,讲我对某些文学课有兴趣,凡跟这门文学没有关系的,我就不再想去念它.不然讲我对泛函分析有兴趣,我天下之间就只有泛函分析,跟泛函分析关系不大的,就算有一点关系我也不想去看,这是一个错误的关念. 其实泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理论有关,才开始产生的,可是慢慢的发展以后,就把前面引起泛函分析发展的学科忘掉了,这是很不幸的.

   大学是一个通才教育,就算你单对代数有兴趣,除了代数要懂以外,对微积分也要懂,其实微积分对代数也有很大的影响. 所以基本上,大学所能 offer 的课程,我觉得你们年轻人都应该去学,不单要学,而且要学得很懂.

  $6 基础打好,对以后研究帮助很大

 很难想象有什么大学课程在研究院是不重要的,你在大学里念的每一门课,和以后研究都有很大的关系,我想关系是绝对有的,就算在研究院里一二年的课,我想对你以后的研究也是有很大的好处,所以应该尽量将基础打好.其实到你真的在做研究时,你会发现你需要很多工具,很不幸,很多东西,你在念大学,念研究院时没有好好地念好. 到了念博士那个时候,你常常要赶写论文什么的,你发现工具以不够,要花很多时间去念,工具不够又不想去念,你就很麻烦. 毕业拿个博士以后,你又有很多不同的其它压力,台湾比较少,至少在美国是很大的,你要尽量发表文章,一下子没有那么多时间将那门工具从心再念过. 所以念大学跟研究院那两年的时候; 要尽量将所有基本工具全部念懂,我想这是很有必要的.

  $7 懂得两门以上分支,才能活跃作研究

 譬如来讲,我很多朋友是代数几何做的很好,可是需要用到分析做工具时,他们就觉得很怕,反过来讲,分析念得很好,可是需要代数时就很怕. 不过我觉得一个好的数学家,至少要懂得两门以上的数学分支. 当题目来的时候不会恐惧,才能很活跃的就一个好研究.

  $8 念到对文题有想法,会找文献

  一门学科你要念到什么地步? 你自己要晓得. 就是讲你遇到一个 reserach 的问题的时候,你虽然不见得能够解决掉,至少你要晓得你可以坐下来对这个问题产生一个想法, 同时可以找这方面的文献,晓得那里去找,将他基本的 terminology 弄懂. 晓得怎么去攻进这个问题,开始解这个问题. 这个问题不一定能够解决,不过至少你觉得 comfortable ,晓得怎么去对付这个问题. 要做到这个地步,其实是要懂很多东西,普通要经过相当久的 training 才能够达到这个地步.

  $9 要训练自己去发问

  因为我们能力有限,一个人不可能每门都懂,不是我们不想,可是到了一个题目来的时候,我们往往会产生很多不同的问题,这个题目并不建得我门本行,我们希望能够找文献或至少找个适当的做研究的人,问他们碰到这个文题时要怎么对付.所以你们在大学或研究院要懂得怎么发问,这是个很重要的 training . 发问的训练,从小的方面来讲就是问老师或同学,从大的来讲,就是自己做一些比较起来还没有人问过的问题.一个好的数学家跟差的数学家,往往决定于你问的问题有没有意思,是不是重要的问题.你要做到后来成为一个专家的时,才晓得你问的问题有没有意思.不管对你们年轻人来讲,问一些你自己认为有意思的问题是一个很好的训练,你问的问题可能没有 well-known 或是人家已经解决了,其实也没有什么关系,问问题是一个很重要的训练,并不容易,不过你要尽量在这方面自己训练自己.我想你们大学念到一年班,二年班时,应当从跟同学讨论这边来自我训练,也要由问老师问题来训练自己.

  $10 讨论问题对懂者或不懂者都有好处

 我不晓得你们清华的同学间,彼此讨论的情况怎么样? 我觉得这很重要的. 无论是懂跟不懂的人来讲,或是不懂的问懂的人,这两方面都有很大的好处.当然你自己不懂的问题去问很懂的人,得到当然对你自己有好处,是 obvious . 反过来讲,你自己很懂跟不懂的人解释自己懂的东西,也是一个很好的 training . 因为往往我们认为很懂的东西,在向别人解释时,才发现自己其实不懂. 很多 obvious 的问题,可能是 known ,或是 unknown 的. 数学命题(一般来讲,你大学读到的是比较已知的命题)你向对方解释时,往往会发现本来是对的解释原来是错的. 所以无论是你自己觉得自己学问不大好的,或是自己学问做得很好的,我觉得互相讨论对自己都有好处. 高年级同学比较知道,你在看课外书或是参考书时,可以在前面的第一章时,觉得很容易,第二章也很容易,到第三章可能模糊,到第四章时好像很 formal ,并不懂什么意思.为什么会产生这种现像呢? 这很简单,因为第一章比较浅一点,你是真的看懂了,第二章其实你不懂,你就跳过去了. 这个证明没看懂,以为啊,大概这样就对了. 越看越多时,前面知识越累积向后面,错就越来越多,到了最后时,跟本就完全没办法控制. 假如你看一本书时,你对一个人讲,甚至对一个黑板讲也可以. 对其它同学讲,不单有意思,而且同学往往会问你些问题,让你晓得你什么地方是没有搞清楚的,经过整个 pro-cedure 以后,你会晓得什么地方你懂,什么地方你不懂. 所以我们往往鼓励学生一定要教书.

  $11 做研究的人也要教书

  我们做了研究的人也一样,一定要教书,不能够单单作研究就算了,不用教书. 教书的好处跟刚才讲的一样,你在讲自己的研究的时候,其次在讲一个命题时,你往往一路讲一路发觉自己有什么不足的地方. 你不讲自己的研究,你发觉你好像很模糊搞不清楚;当你向别人讲时,一点一滴讲出来,你就晓得自己在那方面不足,中间的连系,并不是你想象的那么完善. 常常因为我们发觉研究不够 perfect ,所以我们还要向前作研究.假如研究都是充足的话就可以告一段落了. 所以同学跟同学间,和同学跟老师间的讨论,我想都是很重要的.

  $12 问问题是重要的训练

 我们的科学(不一定是数学),并不是很 perfect 的科学,在每一个层以上我们都可以问一些很重要的问题. 基本上数学里所有的很简单的学问,你也可以问出很重要的问题,这些问题你并不一定能够解决,你可以跟老师讨论或是跟同学讨论.不过你在问问题时,你可以将自己整个思想,思考搞得清楚,是一个很重要的 train- ing, 我很鼓励你们尽量去问一些问题.

  $13 中学时问问题的经验

 我觉得得很得意的,就是我从很早的时候,究常问一些数学问题. 我在中学时开始问一些问题,自己看有没有办法解决.其中有一个问题,我考虑了一年--给了三角形的多少 data ,可以决定一个三角形呢?普通给定三个 data ,例如一线段两个角(ASA)或三个线段(SSS)可以决定一三角形,假如给的是三个分角线的长又如何呢? 三角形的 data 一般有边长,角度,分角线长,中垂线长等等,随便抽三个出来是否就能决定一个三角形? 你试试看,大部份的都能解,只有一,二个不能解. 我中学的时候研究过这个问题,考虑了一年多, turns out 这个问题并不简单. 我小时候坐火车,在火车上都在想,最后看了一本参考书才知道能不能解,不过整个过程对我的思考帮助很大.从前是二年级的时候开始念平面几何,我在三年班的时候开始想这个问题,还有很多比较 complicate 的问题比这个更复杂,所以在最简单最平凡的问题中你可以找到很多有意思的问题问自己.问题并不少,在自然界里或数学中多的不得了,问题是自己去找或如何去找. 这个要自己训练,方法很多,要自己努力,同时要跟别人多来往. 训练要花很多工夫,就是问,从早到晚你究竟花了多少功夫在那里? 你要动脑筋,不是随便讲两句就行了.

  $14 做学问用功很重要

  我从前有一个 Ph.D. 的学生,资质不错,想法也不错,我跟他说你一天,最少要花六个钟点在数学上面想论文,他说不行,后来他也没有再做下去了. 我不晓得你们能不能坐六个小时想数学,或看数学? 做学问跟做数学, concentration 很重要,假如你觉得不能concentration 的话,你干脆不要念数学算了.从前我大学毕业后,我一天最少有十个多钟头在想数学,你并不一定要这样子,不过你至少要花一定功夫的 concentration 才能做一个好的数学家. 你愿意花很多功夫以后我想你一定会有收获.当然,一个好数学家,除了用功之外,也要有一些运气在里面,聪明很有影响. 你们能考上清华,聪明应该不会差太远,不过,我想关系不大,真的要靠的话,我想还是靠你的concentration.

  $15 现在环境比以前好,靠自己都可做好学问

    从前,我们在香港长大,很想看参考书,但又贵又不容易找到. 你们现在在清华,我想,你们要找什么都找的到,要找些比较好的研究员来跟你们讲东西,现在台湾容易的多了,所以我想是在你们能不能够做,最好不要找借口.在国外很多大的学校,学生很多,不大容易找到的老师,研究的机会可能也比这边少得多,我 undergraduate 的经验就是这样,主要是你肯用功.做学问是靠自己;做研究也靠自己,一般来讲你到一个学校有刚好跟你做同一行的很少很少,普通顶多二,三个而已. 基本上是靠自己. 在台湾参考书都有了,不一定要靠别人,要有发动自己的能力,自己肯问问题,单靠自己应该不会差太远的.

  $16 培养兴趣越做越有意思

  所以你开始做决定后你要 enjoy 做数学,好比下棋,假若对下祺没有兴趣,被逼去下棋就很痛苦,可是你对下棋有兴趣的话,你越下越有意思,下到困难的地方更有意思做数学也是一样,碰到困难的问题更有意思,所以兴趣一定要 establish. 兴趣是完全要培养的. 如果你问一个小学生: "你对微积分有没有兴趣?" 你当然可以讲他对微积分没有兴趣,因为他跟本不懂微积分. 同样的意思,如果我问你对微分几何有多大的兴趣,在你还没有开始做之前,你当然不晓得,因为你跟本不懂微分几何这其实是很空洞的问题,不能讲我现在有兴趣,或我现在没兴趣.     不过你可以讲 roughly 你对它有兴趣,到你真的做进去以后,你才发现你对它有很大的兴趣,有很大的意思.你们问一些问题好了.

问一(王南杰): 请问丘桐成老师,你当初是什么原因才选择做几何这方面? 是否有什么机缘? 另一个问题是我已经大四了,一些老师问过我以后想要念些什么,我以前的想法是要念数学,现在碰到这样的问题,就想好像对分析,几何比较有感觉,可是念到代数和拓朴,又觉得很有挑战性,好像很可以去念一番,以您的经验,不知您有什么建议?

答: 我从前在香港时,觉得泛函分析很有意思,我很想念泛函分析,你讲我为什么对几何有兴趣,因为刚好我去 Berkley 以后,很多人在谈几何的问题,我自己也在看一些几何的问题,就这样做进去了. 其实我的兴趣在很多方面,不能讲我的兴趣就在几何. 我觉得数学不应当将它们分界得很明显,我也做很多其他方面的,这是第一点.弄懂第一个问题的回答后,也很容易回答你第二个问题. 因为整个数学的走向不应当有很大的分界线,你现在念大四,既然对代数,拓朴也有很大的兴趣,你就应该花很大的功夫去看,将这方面的基础全部打好. 你要 openmined ,根本不要讲你对那几门有兴趣,干脆每一门都尽量念好就差不多了.譬如你巷念微分几何,几何的东西是在一个流形,在一个拓朴流形才能做的,你非要将拓朴搞清楚,才能做微分几何,对不对?假如你要念分析,其实现在有很多人用拓朴的方法去做,用不动点原理,用比较不同的 toplogy 去做,这也要学. 不然就像我很多朋友一样,分析很好很好,可是一遇到所谓微分流形上的方程,或一些与这些有关的问题就通通不敢碰. 当然也不能讲一定不好,就是有一定的 limitation 在里面. 一个好的数学家,每一门都要做得很好. 你现在大四,念了几门,至少在大学的课程里面,每一门都应该念好. 你不要讲你有没有能力做到,事实上你一定有能力. 你现在不把大学课程念好,你以后还是要念好. 因为数学本来无分彼此,不要分得太厉害,所以我的建议是在大学时,不一定就讲你固定喜欢那一门,可是你可以讲我现在对某门课兴趣比较大,不过你随时可以 change我想这是比较好的观点.

  $17 数学是按重要不重要来分,不是按这一门那一门来分

    数学里面是很自然的科学,就是很 natural 的 phenomena, 所以你看了以后知道

  什么东西比较重要,什么东西没什么重要. 有一些数学我不是不愿意做的,因为比较

  artifical. 每一个人的观点不同,我的观点是我不愿意做这些事. 我是这样分的,

  而不是你们讲的那门那门. 因为假如分了以后,到了这一门不能再向前走时,你该怎

  么办呢? 这是很麻烦的.

  $18 许多科目功成身退,不懂其他就麻烦

    历史上有许多科目到了某一地方以后,不是讲他们不行了,而是他们 mature 到了一 个地步,被 absorb 到其它科目去了,这个 field 基本上,便不存在. 如 general toplogy, general toplogy 在历史上起了一定的重要性,可是在变成 foundation 以后,全被 absorb 到所有 field 去,我们现在根本不谈了. General toplogy 变成一个工具,不成为一个 field 了.    我们可以想象数学里面有很多这种课,就是讲到了某个地步以后,我们对整个理论  understood, 不再需要分这门课,假如你刚好念到这门课,而你又不愿意且不懂其它门课,你做这行就很麻烦了.

问二:(周郑州) 我听说有些数学家会对其它东西感兴趣,譬如对哲学有兴趣,不知道实际上怎么样?

答: 当然每一个人在课余的时候,都会有不同的兴趣,这是很重要的. 我认为凡是对思考有帮助的科目,你去看它总是有好处. 哲学对你的思考有帮助,有好处. 譬如爱因斯坦就对哲学有很大的兴趣,爱因斯坦一开始在做广义相对论的时候,讨论过它哲学上的问题,他也受了一定的影响.我们念数学,当然主要的精神是用再数学上面,我想念其他对你思考有帮助,很明显对你的学科本身也会有好处. 每一个人有不同的反应,你对文学可能有兴趣,我个人喜欢看历史,我觉得历史对我很有帮助.

问三: 可不可以具体一点说明,像历史对数学的帮助在那?

   二流数学家做一流题目也算是一流数学家,历史经验帮你选取一流问题

答: 历史总归来讲,就是看从前的经验,对事物对不同东西的经验. 经验对你在做题目时是好处的.对一个题目取舍的问题,就是一开始讲的,这是一个表面上很简单的问题,其实有很大的学问. 一个第一流的数学家,假如他选取的问题都是第二流的,他顶多也只是能做第二流的数学家. 一个第二流的数学家,假如他选取的题目都是第一流的,他不一定做得到这个题目,可是他做到这个题目的二分之一,他以算是第一流的数学家,因为他对整个数学的发展有一定的贡献.什么叫第二流的学问? 就是讲琐碎的问题,我们基本上对这些问题都有一定的insight有很多人不太愿意做,或是有其它的原因不大愿意去做. 你做第二流的问题,用了很大功夫去做,你做通了,对整个数学的进展没有很大的帮助. 对题目的取舍,往往是 nonscientific 的,跟你的经验有关. 譬如哲学的问题或是历史的问题,你可以晓得,经验对你有帮助,念其他书有时对你也有帮助. 像文学好了,